Post on 03-Jan-2016
description
1
מתמטיקה ב' לכלכלנים – הגדרות קבוצות, 2שיעור
גבולות ורציפותפרקטיקה
2
חישוב תחום הגדרה
)5ln(1
)(
1),,(
2
y
xyyxzyxF שאלה:
Fמצא את תחום ההגדרה של וצייר אותו.
? ניגשים איך
3
חישוב תחום הגדרה
yxyxyyx
zyxF 2)5ln(1
)(
1),,(
2
מנה אברילהיות צריכים
- מ 0שונים
צריכים שורשיםאו גדולים להיות
ל 0שווים
ln להיות צריך- מ ממש 0גדול
0)( 2 yx yx 0xy 0,0 yx0xy
02 yx}0,0),{(
}0,0),{(
yxyx
yxyx
yx 205 y 5y
4
חישוב תחום הגדרה
yx 0,0 yx
}0,0),{(
}0,0),{(
yxyx
yxyx
yx25y
X
Y
}),{(}5),{(}2),{( yxyxyyxyxyx
5
קבוצות פתוחות וסגורות
}41,32),{( yxyx
}3640),{( 22 xyyx
}),{( 3xyyx X
Yהשפה
ולא סגורה לאפתוחה
זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות )או לא ולא(
מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן. האם הקבוצה חסומה?
)},(4{חסומה xyyx
6
קבוצות פתוחות וסגורות
}3640),{( 22 xyyx
}),{( 3xyyx X
Yהשפה
קבוצה פתוחה
זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות )או לא ולא(
מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן. האם הקבוצה חסומה?
חסומה
}41,32),{( yxyx
}4),{( xyyx
7
קבוצות פתוחות וסגורות
}3640),{( 22 xyyx
}),{( 3xyyx X
Yהשפה
סגורה קבוצה
זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות )או לא ולא(
מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן. האם הקבוצה חסומה?
חסומה לא
}41,32),{( yxyx
}4),{( xyyx
8
זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות )או קבוצות פתוחות וסגורותלא ולא(
מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן. האם הקבוצה חסומה?
}3640),{( 22 xyyx
}),{( 3xyyx
}4),{( xyyx
X
Yהשפה
השפה
פתוחה חסומה לא
}41,32),{( yxyx
9
קבוצות פתוחות וסגורות
)},(16{הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה: 22 yxyx
הרעיון:
X
Y נקודה לבחור עלינויודעים שאיננו בקבוצה
. דבר עליה
שהיא להראות עלינופנימית.
10
קבוצות פתוחות וסגורות
)},(16{הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה: 22 yxyx
X
Y של המרחק את נחשב. הקבוצה מקצה הנקודה
של סביבה ונמצאקטן ברדיוס הנקודה
יותר.
11
קבוצות פתוחות וסגורות
)},(16{הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה: 22 yxyx
X
Y ? המרחק את נחשב איך
ב נמצאת הנקודה ,(yאם(x
מהשפה מרחקה אזהוא:
224 yx
{4{
12
קבוצות פתוחות וסגורות
)},(16{הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה: 22 yxyx
הוכחה: . a(=x,yתהי ) סביבה על נסתכל בקבוצה כלשהי נקודה
ברדיוס
. של מרחקה לנקודה הוא 0מ aמסביב
מ בסביבה נקודה כל של מרחקה -aואילו מ קטן
מ בסביבה נקודה כל של מרחקה : 0ולכן מ קטן
. בקבוצה כולה זו סביבה ולכן
2
4 22 yx 22 yx
2
4 22 yx
42
44
2
4
2
4 2222
22
yx
yxyx
13
גבולות
1lim 22
22
)0,0(),(
yxyx e
yx
: אותו חשב קיים שהגבול בהינתן
שהגבול כיווןנציב, קיים
מסילה לבחירתנו
)0,()( ttf : ונציב נקבע
1lim 2
2
0 tt e
t2
2
2lim
0 tt te
t
11
lim 20
tt e
לופיטל
14
גבולות
xy
yxyx 3lim
22
)0,0(),(
: גבול אין לפונקציה כי הוכח
מסילות כי להראות ננסה גבול אין כי להוכיח כדי. שונים גבולות נותנות שונות
החזקה בעל שהאיבר לכך לגרום ננסה כך לשםהחזקה בעל לאיבר זהה יהיה במכנה ביותר הנמוכה , שונה יהיה המקדמים יחס אך במונה ביותר הנמוכה
. פעם בכל
הרעיון:
15
גבולות
xy
yxyx 3lim
22
)0,0(),(
: גבול אין לפונקציה כי הוכח
נציב:),( tt )2,( tt
3
2
3lim
2
22
)0,0(),(
t
ttyx 6
5
6
4lim
2
22
)0,0(),(
t
ttyx
שונות במסילות שונים גבולות !שני גבול אין
16
גבולות
xy
yxyx 3lim
22
)0,0(),(
? נראית הפונקציה איך אבל
17
גבולות: גבול של קיומו היעדר להוכחת השיטה על עוד
ב פולינומים מנת של גבול לחישוב בשיטה .0ניזכר. מינימלי משותף גורם נוציא ראשית
, בסוגריים הזניחים הגורמים את נמחק כך אחרונקבל:
xxx
xxxx 23
235
0 3
2lim
)13(
)2(lim
2
132
0 xxx
xxxx
02lim2
lim0
2
0
x
x
xxx
18
גבולות: גבול של קיומו היעדר להוכחת השיטה על עוד
ב הנמוכה mנסמן המעלה בעל האיבר מעלת את , וב במכנה בעל nביותר האיבר של מעלתו את
. נסמן במונה ביותר הנמוכה את xnו xmהמעלה. בהתאמה מקדמיהם
0)(
)(lim
xg
xfnm
מוגדרלאxg
xfnm
,,
)(
)(lim
m
n
x
x
xg
xfnm
)(
)(lim
19
גבולות: קצר אימון
מכנה = מונה , = mמעלת מכנה , = nמעלת מונה, xmמקדם מקדם =xn
0)(
)(lim
xg
xfnm מוגדרלא
xg
xfnm
,,
)(
)(lim
m
n
x
x
xg
xfnm
)(
)(lim
xx
xxxx 3lim
3
26
0 3
1
xx
xxxx 4
25lim
3
2310
00
414
41540
0 415
27152lim
xx
xxxx 2
1
4
2
15
2310
0 124
89lim
x
xxxx ?
20
גבולותנרצה גבול היעדר לחישוב מתאימות מסילות לבחור כדי
מ מסילות בעיר אחת. סוגלבחור במסילה גם להשתמש נוכל.סוגמ
מכנה = מונה , = mמעלת מכנה , = nמעלת מונה, xmמקדם מקדם =xn
0)(
)(lim
xg
xfnm מוגדרלא
xg
xfnm
,,
)(
)(lim
m
n
x
x
xg
xfnm
)(
)(lim
המחשה:
y
yxxyx 3
3lim
22
)0,0(),(
),( ttt 3
1
3
3lim
22
)0,0(),(
t
ttttt
y
yxxyx 3
3lim
22
)0,0(),(
),0( tt 03
lim2
)0,0(),(
t
ttt
( : להציב אסור לב שמסילה( t,0שים כיוון! ההגדרה לתחום מחוץ כולה זו
. גבול אין כי והוכחנו
21
גבולותנרצה גבול היעדר לחישוב מתאימות מסילות לבחור כדי
מ מסילות בעיר אחת. סוגלבחור במסילה גם להשתמש נוכל.סוגמ
מכנה = מונה , = mמעלת מכנה , = nמעלת מונה, xmמקדם מקדם =xn
0)(
)(lim
xg
xfnm מוגדרלא
xg
xfnm
,,
)(
)(lim
m
n
x
x
xg
xfnm
)(
)(lim
המחשה:
xy
yxyx 3
3lim
33
)0,0(),(
),( 2ttt 13
3lim
3
63
)0,0(),(
t
tttt
xy
yxyx 3
3lim
33
)0,0(),(
),( 2 ttt 3
1
3
3lim
3
36
)0,0(),(
t
tttt
. גבול אין כי והוכחנו
22
גבולות? מסתדר לא זה כשכל עושים ומה
המחשה:
xy
yxyx 3
3lim
3
)0,0(),(
),( ttt
3
)31(1lim
3
)31(lim
3
3lim
2
)0,0(),(2
2
)0,0(),(2
3
)0,0(),(
t
tt
tt
t
tttttttt
- ש כיוון גבול אין כי .t/1והוכחנו גבול חסר
מוציאים כלל .t/1בדרך
לגרום נוכל לא לעולםקטנה להיות המכנה למעלת
... המונה ממעלת
23
גבולות
),(lim),(lim),(),(lim),(),(),(),(),(),( 000000
yxgyxfyxgyxfyxyxyxyxyxyx
: קיימים כי נתוןהוכח:
),(lim),,(lim),(),(),(),( 0000
yxgyxfyxyxyxyx
. הגבול בהגדרת ניזכר המשפט את להוכיח כדיאת לבנות כדי הנתונים בגבולות נשתמש מכן לאחר
. הנדרשת הסביבה
הרעיון:
lxfxx
)(lim0
לכל הגדרה: סביבת >0אם נקובה >0קיימת
מתקיים Aשנסמנה x0של שלכל Axכך ||)(|| lxf
24
גבולות
),(lim),(lim),(),(lim),(),(),(),(),(),( 000000
yxgyxfyxgyxfyxyxyxyxyxyx
: קיימים כי נתוןהוכח:
gyxyx
fyxyx
lyxglyxf
),(lim,),(lim),(),(),(),( 0000
כך. >0יהי קיימות הנתונים הגבולות שני קיום לפי נבחר: xשלכול מתקיים של נקובה בסביבת
לכל : xוכן מתקיים של נקובה בסביבתולכן
הוכחה:
lxfxx
)(lim0
לכל הגדרה: סביבת >0אם נקובה >0קיימת
מתקיים Aשנסמנה x0של שלכל Axכך ||)(|| lxf
gf ,
f),( 00 yx2
||)(||
flxf
שנצטרך בגלל חצי בחרנו... נוסף איבר לחבר
g),( 00 yx2
||)(||
glxg
22||)(||||)(||||)()()(|| gffg lxglxfllxgxf
25
שליטה בנושאי הבסיס – תקל עלינו בהמשך.
"כשדלת אחת נסגרת, אחרת נפתחת"-- בוב מארלי