Расписание консультаций

Динамика вращательного Динамика вращательного движения (динамика движения (динамика

абсолютно твёрдого тела)абсолютно твёрдого тела)

Лекция 3

ВоГТУВоГТУ

Кузина Л.А., Кузина Л.А., к.ф.-м.н., доцентк.ф.-м.н., доцент

20120122 г. г.

План1. Закон динамики вращательного движения

A. Момент силы B. Момент пары силC. Момент инерции

2. Моменты инерции некоторых тел:A. Кольцо (тонкостенный цилиндр)B. Толстостенный цилиндр C. Сплошной цилиндрD. ШарE. Тонкий стержень

3. Теорема Штейнера4. Момент импульса тела. Изменение момента импульса тела. Импульс момента силы. Закон сохранения момента импульса тела 5. Работа при вращательном движении6. Кинетическая энергия вращения7. Сопоставление величин и законов для поступательного и вращательного движения

Рассмотривается твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси. Запишем второй закон Ньютона для отдельной элементарной массы Δmi, на которые мысленно разбиваем тело:

- нормальная составляющая равнодействующей силы

inF

- касательная составляющая равнодействующей силы

iêF

irika

iiik rmF

iiiiik rrmrF

iiiiiik lFrFrF sin 2iii rmM

ikiik amF

Моментом силы относительно оси называется вектор, направленный по оси вращения и связанный с направлением силы правилом буравчика и модуль которого равен произведению силы на ее плечо:

lFM

Плечо силы l относительно оси вращения – это кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения

ìÍM

В векторной форме момент силы относительно точки:

Проекция момента силы

FrM

lFrFFrM zz sin

Момент силы

Момент пары сил

Пара сил – это две равные по величине и противоположные по направлению силы, линии действия которых не совпадают

Плечо пары сил

Суммарный момент пары сил в проекции на ось, проходящую через точку О:

lFlFllFlFlFM 111122

Скалярная величина , равная произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси ОО:

Закон динамики вращательного движения

2mrI

2iii rmM

2ìêãI

ii IM

i

iii

i rmM 2

Суммируем по всем элементарным массам, на которые разбито тело Момент инерции твёрдого

тела: i

iirmI 2

i

âíåøíèõi MM

IM âíåøí.

Закон динамики вращательного движения

Аналог для поступательного движения:

IM âíåøí.

m

Fa

âíåøí .

I

M âíåøí .

Угловое ускорение тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил и обратно

пропорционально моменту инерции тела

Момент инерции I твердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при

вращательном движении и аналогичен массе тела m во втором законе Ньютона.

Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей внешних сил и обратно пропорционально массе тела

Момент инерции I

для материальной точки

- характеризует инертные свойства тела при вращательном движении

- зависит от массы тела и от её распределения относительно оси вращения

Vm

dVrdmrI 22

2mrI

i

iirmI 2для твёрдого тела (для системы точечных масс)

для твёрдого тела (если масса распределена непрерывно)

Моменты инерции некоторых тел

1) Кольцо (тонкостенный цилиндр)

2222 mRdmRdmRdmrImmm

2) Шар

2

5

2mRI

(без доказательства)

3)Сплошной цилиндр (диск) drrhdVdm 2

2222

22224 RmRVRhRRhI

R

drrhrdmrIm 0

22 2

R

rhI

04

24

2

2mRI

R

drrhI0

32

2

21

22 RRm

I

4) Полый (толстостенный) цилиндр

drrhdVdm 2

2

1

222R

R

drrhrdmrIm

22

21

22

21

22

41

42 RRRRhRRh

I

2

1

2

14

224

3R

R

R

R

rhdrrhI

22

21

22

21

22 RRmRRV

I

drl

mdm

333

23

0

3

0 0

222 mll

l

mr

l

mdrr

l

mdr

l

mrdmrI

ll l

m

3

2mlI относительно оси, проходящей через конец стержня

относительно оси, проходящей через середину стержня

12

2mlIc 123

2222

2

mllm

Ic

5) Тонкий стержень

Теорема ШтейнераМомент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

2dmII c

2222

2123

l

mmlml

dmII c

Для стержня:

3

2mlI 12

2mlIc

2

ld

Аналогичен импульсу:Аналогичен импульсу:

I

M

dt

d

LdIdIddtMdt

d

I

M

Момент импульса твёрдого тела – это произведение момента инерции твёрдого тела на угловую скорость:

IL

v

mp

LddtM

dt

LdM

dt

pdF

ptF

LtM

L

c

ìêãL

2

АналогАналог АналогАналог

Для расчёта момента импульса вращающегося твёрдого теланайдём сумму по всем материальным точкам:Для расчёта момента импульса вращающегося твёрдого теланайдём сумму по всем материальным точкам:

Момент импульса материальной точки:

Определения эквивалентны:Определения эквивалентны:

prL

i i

iiiiii

iiii

i IrmrmrmrLL 2v

L

iL

prL

IL

lmprL vsin Момент импульса – вектор, направленный по оси вращения по правилу буравчика

ЕслиЕсли

LtM

Импульс момента силыИмпульс момента силы – аналог импульсу силы– аналог импульсу силы

Изменение момента импульса тела равно импульсу суммарного момента внешних сил.

Это – закон изменения момента импульса (для незамкнутых систем)

tM

tF

0.âíåøíM

constL

Закон сохранения момента импульса:

внешние силы параллельны закреплённой оси вращениявнешние силы параллельны закреплённой оси вращения

Это возможно, если:Это возможно, если:

система замкнута (или )система замкнута (или )0. âíåøíF

у внешних сил нет касательных составляющих (вектор силы проходит через ось или центр вращения)

у внешних сил нет касательных составляющих (вектор силы проходит через ось или центр вращения)

ЕслиЕсли 0.âíåøíM

constL

Закон сохранения момента импульса:

Примеры:Примеры:У внешних сил нет касательных составляющих (вектор силы проходит через ось или центр вращения) – поле центральных сил (гравитация)

У внешних сил нет касательных составляющих (вектор силы проходит через ось или центр вращения) – поле центральных сил (гравитация)

ЕслиЕсли 0.âíåøíM

constL

Закон сохранения момента импульса:

Примеры:Примеры:Скамья ЖуковскогоСкамья Жуковского

Ñêàìüÿ Æóêîâñêîãî.avi

ЕслиЕсли 0.âíåøíM

constL

Закон сохранения момента импульса:

Примеры:Примеры: Кошки используют закон сохранения момента импульса: чтобы приземлиться на лапы, надо развернуть тело, а для этого кошка вращает хвостом в другую сторону

Кошки используют закон сохранения момента импульса: чтобы приземлиться на лапы, надо развернуть тело, а для этого кошка вращает хвостом в другую сторонуÃèðîñêîï.avi

Пусть тело повернулось на угол поддействием силы – угол между силой и перемещением – радиус-вектор точки приложения силы

Пусть тело повернулось на угол поддействием силы – угол между силой и перемещением – радиус-вектор точки приложения силы

Работа при вращательном движении

Работа силы:Работа силы:

dF

Sd

r

dSFSdFdA cos

dlFdrFdA cos

drdS

lFM

dMdA 2

1

2

1

dMdAA

Пусть тело вращается относительно закреплённой оси с угловой скоростью . Разобьём его мысленно на элементарные массы

и просуммируем кинетические энергии:

Пусть тело вращается относительно закреплённой оси с угловой скоростью . Разобьём его мысленно на элементарные массы

и просуммируем кинетические энергии:

Кинетическая энергия вращения

i

ii

ii

mWW

2

v2im

i

iii

ii rmrm

W 2222

22

ii rv

i

iirmI 2

2

2

IW

22

v 22

..

Im

WWW câðàùïîñòêèí

Для катящегося тела:Для катящегося тела:

Скорость центра массСкорость центра масс

Аналогия между поступательным и вращательным движениями

Аналогия между поступательным и вращательным движениями