Post on 15-Mar-2016
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武进区礼嘉中学 数学组:吴志凌
椭圆的定义?焦点?焦距? 平面内到两个定点 F1 , F2的距离的和等于常数 ( 大于 F1F2 )的点的轨迹——椭圆
两个定点 F1 , F2—— 椭圆的焦点两焦点间的距离——椭圆的焦距
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆.
它们是椭圆?
地球绕太阳运动的轨迹像椭圆.
它是椭圆吗?
将一个圆进行均匀压缩变形后,所得的图形也像椭圆.
问题 1 :它们是不是数学概念上 的椭圆?怎样来检验所 得的曲线是不是椭圆?
问题 2 :如何建立椭圆的方程?
y
xO
),( yxP
r
设圆上任意一点 P(x , y)
以圆心 O 为原点,建立直角坐标系
rOP ryx 22
两边平方,得 222 ryx
1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标坐标法 坐标法
5.化简方程
椭圆方程的建立:步骤 1 :建立直角坐标系步骤 2 :设动点坐标步骤 4 :代入坐标步骤 5 :化简方程步骤 3 :列等式
设椭圆的两个焦点分别为 F1 , F2 ,它们之间的距离为 2c ,椭圆上任意一点 P 到 F1 , F2 的距离的和为 2a(2a>2c) .
P
F1 F2
以 F1 , F2 所在直线为 x 轴,线段F1F2 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系xOy ,则 F1 , F2 的坐标分别为 ( -c , 0) , (c , 0) .
步骤 1 :建立直角坐标系
x
y
O
P
F1 F2
设椭圆上任意一点 P 的坐标为 (x , y) ,步骤 3 :列出等式根据椭圆定义知: PF1 + PF2 = 2a ,
步骤 4 :代入坐标aycxycx 2)()( 2222 即: .
步骤 2 :设动点坐标
步骤 5 :化简方程
两边再平方得: a4 - 2a2cx + c2x2 = a2x2 - 2a2cx + a2c2 +a2y2 ,整理得: (a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 -c2) .
2222 )(2)( ycxaycx 移项得: ,2222222 )()(44)( ycxycxaaycx
两边平方得: ,222 )( ycxacxa 整理得: .
步骤 5 :化简方程因为 a2(a2 - c2) ≠0 ,所以两边同除以 a2(a2 - c2) 得: ,122
2
2
2
ca
yax
又因为 a2 - c2 > 0 ,所以可设 a2 -c2 =b2(b > 0) ,于是得: .)0(12
2
2
2
baby
ax
1F
2F P
X
y
O
acyxcyx 22222 )()(
aPFPF 221 ),0(,),0( 21 cFcF
),( yx
122 ba
2x 2y
)0(12
2
2
2
babx
ay
o
y
x
1F
2F
),( yxP
o
y
x
2F
1F
),( yxP
12
2
2
2
by
ax 12
2
2
2
bx
ay
如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上?
(a>b>0)
(a>b>0)
椭圆的焦点位置可由方程中 x2
与 y2 的分母的大小来确定,焦点在分母 大的项所对应的坐标轴上.
练习1 1
925
22
yx
1 .已知椭圆的方程为 ,则 a=_____ , b=_______ , c =_______ ,焦点坐标为 ___________________ ,焦距等 ________ .
练习 2 1
54
22
yx
2 .已知椭圆的方程为 ,则 a=_____ , b =_____ , c=_____ ,焦点坐标为 __________________ ,焦距等 __________ .
xO
y
例 1 、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为 2.4 m ,外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为 3 m ,求这个椭圆的标准方程
F1 F2
P
解:以两个焦点 F1 , F2 所在的直线为 x 轴,以线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,则这个椭圆的标准方程为)0(12
2
2
2
baby
ax
181.025.2
22
yx
根据题意知, 2a=3 , 2c=2.4 ,即a=1.5 , c=1.2 。所以 b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81 ,因此椭圆的标准方程为
例 2 、 已知椭圆的焦点为 F1(0 ,- 6) ,F2(0 , 6) ,且椭圆过点 P(2 , 5) ,求椭圆的标准方程.
)0(12
2
2
2
baby
ax )0(12
2
2
2
babx
ay
1 、方程建立的过程:建立直角坐标系 设坐标列等式 代坐标 化简方程
回 顾
2 、根据已知条件求椭圆的标准方程:(1) 确定焦点所在的位置,选择标准方程的形式;(2) 求解 a , b 的值,写出椭圆的标准方程.
0ba 1by
ax
2
2
2
2
0ba 1bx
ay
2
2
2
2
定 义
图 图
形形
方 程焦 点 F(±c , 0) F(0F(0 ,, ±c)±c) a,b,c
的关系222 cab
{P|PF1+PF2=2a,2a>F1F2}
1 2
y
oF F
P
x
y
xo
2
F
PF
1
最大中、、 acba
3 、两种标准方程的比较
1. 推导焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程;2. 课本 P32---- 习题 2 . 2(1)
第 1 题,第 2 题.
课 后作 业