Post on 30-Dec-2015
description
Разрывы в шкале вероятностей.
Интервальный анализ
Об интервальной арифметике для
вписанных интервалов и средних значений
2
•Нобелевский лауреат Kahneman
констатировал (2006) ), что
в экономической теории, в теории полезности
до сих пор не удалось
удовлетворительно решить
целый ряд проблем
в т.ч. парадоксы Алле и Эллсберга.
Интервальный анализ
• Дана величина {v(Xk)} : k=1, …K, на интервалах Xk.
• Распределение ρ(Xk) этой величины равно
• ρ(Xk) нормировано на 1
1 1
1
( )( ) 1
( )
K Kk k
k Nk k
n nn
X wid XX
X wid X
( ) ( )k k kX X wid X
О возможных дополнениях к интервальной арифметике.
Вписанные интервалы и средние значения
Даны интервалы X1 и X2 :
12 XX
1 1 1( )X wid X
121
2 2 2( )X wid X
Формула Новоселова. Вывод
0)(2
112
nnn MX
12
2
112
2
1
MMXn
nn
nn
2
1
12
nnnXM
2
121
n nn
wid M wid X
Формула Новоселова
1...1
N
N n nn
M X
1..
1
N
N n nn
M X
N
nnnN XwidMwid
1...1
1...1
N
N n nn
P mid p p
1...1
N
N n nn
mid M mid X
7
•Нобелевский лауреат Kahneman и Thaler констатировали (2006) ), что
в экономической теории
до сих пор не удалось
удовлетворительно решить
целый ряд проблем в т.ч. парадоксы Алле и Эллсберга.
Эти проблемы часто наблюдаются
у границ шкалы вероятностей.
Теорема о существовании разрывов
у границ шкалы вероятностей (2010 г.)
дает новый путь для их решения
Теорема о существовании разрывов
• На отрезке [A, B] величина {v(xk)} известна с точностью до ненулевого интервала X, такого, что
min( ) 0k
kx X
x C
min
min min
( )
( )(1 )
M P C
P M C C
min
( )M P P P C
B wid P C
Аналогия. Вибрации вблизи твердой стены
• Электродрель, автомат, стиральная машина с твердыми боковыми стенками.
• Можно ли приблизить дрель к твердой стене:
А) на расстояние 0,1 мм? Б) вплотную?
• Выключенную (Off): Конечно да.
• Включенную (On) (Амплитуда
вибраций равна 1 мм): Из-за вибраций (из-за разброса значений координат)
А) Среднее расстояние >0,1 мм. Б) В шкале возможных средних расстояний появится разрыв.
9
Простейший пример
• Дан интервал [A, B].
• На этом интервале даны три точки:
• Левая xLeft
• Правая xRight=x Left +2σ
• Средняя M=(x Left +x Right)/2
• Разброс xRight - xLeft = 2σ > 0
Очевидно, что A ≤ x Left
(То есть: Левая точка не может быть левее левой границы интервала)
и x Right ≤ B
(То есть: Правая точка не может быть правее правой границы интервала)
Очевидно, что
A+σ ≤ M ≤ B-σТо есть:
Средняя точка M не может приближаться к любой границе интервала ближе, чем на половину величины разброса (то есть на σ).Или
Середина полосы разброса не может быть на границе интервала.Или
Для средней точки M возле каждой из границ интервала существует запрещенная зона, разрыв величиной σ.
16
Пример
разрывов у границ шкалы вероятностей
Простейший пример подобных разрывов – стрельба в мишень в одномерном приближении:
Пусть размер мишени равен 2L>0, а разброс попаданий, при точном прицеливании, подчиняется нормальному закону с дисперсией σ2. Тогда максимальная вероятность попадания в мишень Pin_Max равна: