Post on 27-Jul-2015
aa bb
Угол между векторамиУгол между векторами
aa
bb
aa bb ==
Градусную меру этого угла Градусную меру этого угла обозначим буквой обозначим буквой
Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.
Угол между векторами и Угол между векторами и равенравен
aa bb
ОО
АА ВВ
aa
dd
Найти углы между векторами.
bb
303000 aa bb ==
cc
ff303000
aa cc ==
bb cc ==
dd ff ==
dd cc ==
12012000
909000
18018000
0000
aa
bbdd
ff
Два вектора называются перпендикулярнымиперпендикулярными,
если угол между ними равен 900.
bb cc bb dd bb ff
№ № 441 441 АВСDA1B1C1D1 – куб. Найдите угол между векторами.
454500
BCBC,, AAС = С =
BBBB11,, ACAC = =
BB11CC,, ADAD11 = =
13513500
660000
454500
909000
909000
0000
CC
ВВ11В,В, ВВ11С = С =
DDА,А, BB11DD11 = =
АА11CC11,, AA11BB = =
АА11DD11,, BCBC = =
AAАА11,, CC11CC = =
BBAA
DD
CC11DD11
AA11 BB11
18180000
№ № 442442 Угол между векторами и равен . Найдите углы между векторами
ВА,ВА, DDС = С =
ВА,ВА, ССDD = =
ААBB,, DCDC = =
АВ САВ СDD
CC
DD
BB
АА
OO (C)(C)(A)(A)
BB
DD
18018000–– 18018000––
Сумма векторов – вектор.Сумма векторов – вектор.
Разность векторов – вектор.Разность векторов – вектор.
Произведение вектора на число – вектор.Произведение вектора на число – вектор.
Скалярное произведение векторов – число (скаляр). Скалярное произведение векторов – число (скаляр).
Скаляр – лат. Скаляр – лат. scalescale – – лестница, шкала. лестница, шкала.
Ввел в 1845г. У. Гамильтон, английский математик.Ввел в 1845г. У. Гамильтон, английский математик.
Скалярным произведением двух векторов Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус называется произведение их длин на косинус угла между ними.угла между ними.
aa bb == aa bb coscos( ( ))aa bb
Формула для нахождения Формула для нахождения скалярного произведенияскалярного произведения
через координаты векторовчерез координаты векторов
a = xa = x11 ii + y + y
1 1 j j + z+ z11 kk
b = xb = x22 ii + y + y
2 2 j j + z+ z22 kk
aa bb = ?= ?
(x(x11 ii + y + y
1 1 j j + z+ z11 kk))aa bb == (x(x
22 ii + y + y2 2 j j + z+ z
22 kk) =) =
= x= x11xx22 + y + y
11yy22 + z+ z11zz22
aa bb == xx11xx22 + y + y11yy22 + z+ z
11zz22
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121coszyxzyx
zzyyxx
Косинус угла между ненулевыми векторами
111 ;; zyxа 222 ;; zyxb
|||| ba
baсоs
Скалярное произведение в физикеСкалярное произведение в физике
A = A = FF MNMN coscos
FF
NNMM
A = A = FF MNMN
точку NN равна произведению силы FF и перемещения
MNMN на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что
работа AA постоянной силы FF при
перемещении тела из точки MM в
aa bb == aa bb cos cos 909000
aabb
= 0 = 0 0 0
Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю.
aa bb
Обратно: если , то векторы и перпендикулярны.
aa bb == 00 aa bb
aa bb == 00 aa bb
Скалярное произведение ненулевых векторов равно Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.перпендикулярны.
aa bb == 909000
aa bb == aa bb coscos
aabb
Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый.острый.
aa bb >> 00
> > 00> > 00
> > 00
aa bb < < 909000
aa bb < < 909000
aa bb == aa bb coscos
aa
bb
Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой.тупой.
aa bb << 00
< < 00< < 00
< < 00
aa bb > > 909000
aa bb > > 909000
aa bb == aa bb == aa bb cos cos 0000aabb 1111
aa bb == 0000
Если aa bb
aa bb == aa bb coscos18018000
aa
bb
-1-1-1-1aa bb == 18018000
Если aa bb
= = –– aa bb
aa aa == aa aa coscosaa0000
1111aa aa == 0000
aa aa == == aa 22
Скалярное произведение называется
скалярным квадратом скалярным квадратом вектора и обозначается
aa aaaa aa
22
Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
aa 22 == aa 22
Пример №1Пример №1
Найти скалярное произведение векторов:
a a {-6; 9; 5}{-6; 9; 5} b b {-1; 0; 7}{-1; 0; 7}
aa bb == xx11xx22 + y + y11yy22 + z+ z
11zz22
aa bb == -6 (-1) + 9 0-6 (-1) + 9 0 + 5 7 = 41+ 5 7 = 41
Пример №2Пример №2
Найти скалярное произведение векторов:
a a {0; 0; 4}{0; 0; 4} b b {22; 1; 8}{22; 1; 8}
aa bb == xx11xx22 + y + y11yy22 + z+ z
11zz22
aa bb == 0 22 + 0 10 22 + 0 1 + 4 8 = 32+ 4 8 = 32
Пример №3Пример №3
Найти скалярное произведение векторов:
a a {1; 7; 9}{1; 7; 9} b b {-2; 4; 0}{-2; 4; 0}
aa bb == xx11xx22 + y + y11yy22 + z+ z
11zz22
aa bb == 1 (-2) + 7 41 (-2) + 7 4 + 9 0 = 26+ 9 0 = 26
Проверочная работаПроверочная работа
1. Найти скалярное произведение векторов:
a a {1; 10; 7}{1; 10; 7} b b {0; 7; 0}{0; 7; 0}
Проверочная работаПроверочная работа
2. Найти скалярное произведение векторов:
a a {7; 25; 0}{7; 25; 0} b b {11; 0; 54}{11; 0; 54}
Проверочная работаПроверочная работа
3. Найти скалярное произведение векторов:
a a {|-2|; 0; |3|}{|-2|; 0; |3|} b b {1; |-11|; 1}{1; |-11|; 1}
Проверочная работаПроверочная работа
4. Найти скалярное произведение векторов:
a a {sin(90{sin(9000); 2; 3}); 2; 3} b b {3; 2; 1}{3; 2; 1}
Проверочная работаПроверочная работа
5. Найти скалярное произведение векторов:
a a {-1; 2; 8}{-1; 2; 8} b b {5; 5; 0}{5; 5; 0}
DD11
№ № 443 443 АВСDA1B1C1D1 – куб. Найдите скалярное произведение векторов
CC
BBAA
DD
CC11
AA11 BB11
aa
aaAA11OO11 AA11CC11
BOBO11 C C11B B
DD11OO11 B B11OO11
BABA11 BC BC11 DD11B AC B AC
AD AD BB11CC11 AC AC CC11AA11
OO11
303000
Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и
N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что MN MN AD = 0AD = 0
BB
CCNN
AA
DD
MM
Маленький тестМаленький тест
5
3
2ВЕРНО!
1
3 ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Проверка
На каком расстоянии от плоскости xOy xOy находится точка А(2; -3; 5)
I
I
I
II
I
I
I
MMzz
yy
xx
I I I I I II I I I I I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
OO
OxyOxy
2
5;
3.
1
ВЕРНО!
2
3ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Проверка
4;
На каком расстоянии от начала координат находится точка А(-3; 4; 0)
АА
OxyOxy
zz
yy
xx
I I I II I I I I I II
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
OO
2ВЕРНО!
1
3 ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Найти координаты середины отрезка, если концы его
имеют координаты и AA((-3; 2-3; 2;;-4-4)) B(1;-4; 2) B(1;-4; 2)
CC((--11;-1;;-1;-1)-1)
CC (( ; ; ;; ))--3 3 + + 11 22 22
22+(-+(-44) ) 22
-4-4++22
CC((--22;; 1;1;-1)-1)
CC((--22;-;-22;;-2)-2)
Проверка
1ВЕРНО!
2
3
ПОДУМАЙ!
Проверка
Дан квадрат АВСD. Найдите угол между векторами и .
1350;
900.
450;
ПОДУМАЙ!
АСАС DADA
АА
ВВ СС
DD
Скалярное произведение координатных векторов
и :
3 ВЕРНО!
2
1ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Проверка
равно нулю, т.к. угол между векторами прямой
kk jj
1
– 1
0
xx
yy
zz
I I I I I I I I I I I I I I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
jj
kk
iiOO
1
ВЕРНО!
2
3 ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Проверка
Скалярный квадрат вектора равен:77 ii
49
7
1
Скалярный квадрат вектора Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. равен квадрату его длины.
(( 77ii ))22 = 7 = 7 i i 22 = 7 = 722 = 49 = 49
2ВЕРНО!
1
3 ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Записать координаты вектора n n = – 8= – 8j j + + ii
n n {-8; 1; 0}{-8; 1; 0}
n n {1;-8; 0}{1;-8; 0}
n n {1; 0;-8}{1; 0;-8}
3
ВЕРНО!2
1
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
Проверка
500
600
1200
mm nn == –15–15,, mm = = 55,, nn = = 66..Найдите угол между векторами и , еслиmm nn
Скалярное произведение ненулевых Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только векторов отрицательно тогда и только
тогда , когда угол между векторами тогда , когда угол между векторами тупойтупой
ПОДУМАЙ!
3
2
1
ПОДУМАЙ!
Проверка (3)
ABCDA1B1C1D1 – куб, ребро которого равно 1.
Найдите скалярное произведение векторов и .
4;
1.
2;
ВЕРНО!
ААDD11 BC BC
DD11
CC
BBAA
DD
CC11
AA11 BB11
011 45cosBCBCBCBC 1
2
221
Сылки: