Post on 24-May-2015
description
ГЛАВА I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Десятичная система счисления
2. 954 003 057 000 000 (девятьсот пятьдесят четыре триллиона три миллиарда пятьдесят семь миллионов);
831 000 820 000 (восемьсот тридцать один миллиард восемьсот двадцать тысяч);
63 900 000 000 000 (шестьдесят три триллиона девятьсот миллиардов).3. а) 545; б) 1786; в) 3004; г) 689.4. а) 2822; б) 1143; в) 471; г) 379.6. а) Единицы тысяч; единицы; б) десятки тысяч; единицы тысяч; в) сотни тысяч; первая 7 стоит в разряде сотни тысяч, а вторая 7 —
в разряде сотен; н) сотни миллиардов; первая 7 стоит в разряде десятки миллионов,
вторая 7 — в разряде единицы миллионов; третья 7 — в разряде единицы тысяч.
7. а) Единицы тысяч; б) десятки и единицы; в) нет отсутствующих разрядов; г) единицы миллионов; десятки тысяч; сотни; единицы.8. Десятки триллионов. а) 0; б) 1; в) 2; г) 8.9. М. 5 � 8 � 40; К. 5 � 5 � 25; Е. 8 � 7 � 56; Ф. 5 � 7 � 35; Т. 4 � 9 � 36; Р. 8 � 8 � 64; А. 9 � 3 � 27; И. 3 � 8 � 24.
27 64 24 35 40 56 36 24 25 27
А Р И Ф М Е Т И К А
10. а) 100 000 (сто тысяч); б) 10 000 (десять тысяч); в) 1 000 000 000 (один миллиард); г) 100 000 000 000 (сто миллиардов).11. а) 99 999 (девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять); б) 999 999 (девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто
девять); в) 99 999 999 (девяносто девять миллионов девятьсот девяносто
девять тысяч девятьсот девяносто девять); г) 99 999 999 999 (девяносто девять миллиардов девятьсот девяносто
девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять).
12. а) 107; б) 333 000; в) 990; г) 4000.13. а) 102 230 071; б) 580 000 240 500; в) 48 044 876 000 000; г) 34 515 500.14. а) Сто девять миллионов сто тридцать пять тысяч пятьдесят четыре; б) восемьдесят пять миллиардов два миллиона пятьсот пятьдесят
одна тысяча семьдесят семь; в) девятьсот десять триллионов сорок два миллиарда двадцать
миллионов триста восемь тысяч сто пятьдесят;
337��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
г) семьдесят девять миллионов четыреста две тысячи семьсот двадцать.
15. а) 53 801 � 50 000 + 3000 + 800 + 1; 53 801 � 5 � 10 000 + 3 � 1000 + 8 � 100 + 1; б) 6275 � 6000 + 200 + 70 + 5; 6275 � 6 � 1000 + 2 � 100 + 7 � 10 + 5; в) 189 032 � 100 000 + 80 000 + 9000 + 30 + 2; 189 032 � 1 � 100 000 + 8 � 10 000 + 9 � 1000 + 3 � 10 + 2; г) 201 734 � 200 000 + 1000 + 700 + 30 + 4; 201 734 � 2 � 100 000 + 1 � 1000 + 7 � 100 + 3 � 10 + 4.16. 125 378 567 > 99 987 398; 125 378 567 < 125 378 568; 125 378 567 > 125 367 569.17. а) 356; 357; 258; 359; 360; 361; б) 10 998; 10 999; 11 000; в) 951 399; 951 400; г) нет таких натуральных чисел.18. а) 55��� < 56���; б) ��32�� > 9748; в) 95��� > �4��� г) �6�� > 14��; д) ��� < ����; е) 93� < 15���; ж) �4��� < 96���; з) 35�� и �3��. (В примере з) первое число больше второго, если первую звездочку
второго числа заменить цифрами 1; 2; 3, а если заменить цифрами 4; 5; 6; 7; 8; 9, то второе число больше первого.)
19. а) 9; б) 0; в) 8; 9; г) 9; д) 50 303; 50 313; е) 60 783 < 60 791; ж) 71 209 < 71 218; или 70 219; 70 229; 70 239; 70 249; 70 259; 70 269;
70 279; 70 289; 70 299; з) 49 310 > 49 305.20. 456 — четыреста пятьдесят шесть; 4560 — четыре тысячи пятьсот шестьдесят; 45 600 — сорок пять тысяч шестьсот. Если цифры числа сдвигаются на один разряд влево, то в записи
числа справа дописывается нуль; значимость этой цифры увеличивается на разряд; величина числа увеличивается в 10 раз.
21. 32 500 000 — тридцать два миллиона пятьсот тысяч; 3 250 000 — три миллиона двести пятьдесят тысяч; 325 000 — триста двадцать пять тысяч. Если две цифры числа сдвигаются на один разряд вправо, то в записи
числа справа отбрасывается один нуль; значимость цифры при сдвиге ее на один разряд вправо уменьшается на один разряд, а величина числа при этом уменьшается в 10 раз.
Чтобы умножить натуральное число на 10, 100, 100 и т.д., надо справа к этому числу приписать столько нулей, сколько их содержится в 10, 100 и т.д.
Например, 25 � 10 � 250; 36 � 100 � 3600; 104 � 1000 � 104 000. Чтобы разделить натуральное число, заканчивающиеся нулями,
на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этом числе справа отбросить столько нулей, сколько их содержится в 10, 100, 1000 и т.д.
Например, 1900 : 100 � 19; 7 680 000 : 1000 � 7680; 37 000 000 : 1 000 000 � 37.
22. а) 124 � 100 � 12 400; б) 915 000 : 100 � 9150; в) 750 � 1000 � 750 000; г) 3590 � 10 � 35 900; д) 247 � 1000 � 247 000; е) 4 753 000 : 100 � 47 530; ж) 900 � 100 � 90 000; з) 84 600 : 10 � 8460.23. а) 67 � 10 : 2 � 335; б) 5 � 116 � 116 : 1 � 10 � 58 � 10 � 580; в) 444 � 4 � 444 : 2 � 10 � 2220; г) 2350 � 5 � 2350 : 2 � 10 � 11 750.24. а) 58 � 5 � 58 : 2 � 10 � 290; б) 5 � 280 � 280 : 2 � 10 � 1400; в) 588 � 5 � 588 : 2 � 10 � 294 � 10 � 2940; г) 5 � 3700���3700 : 2 � 10 � 1850 � 10 � 18 500.25. а) 35 � 5 � 35 � 10 : 2 � 350 : 2 � 175; б) 264 � 5 � 264 : 2 � 10 � 132 � 10 � 1320; в) 331 � 5 � 331 � 10 : 2 � 3310 : 2 � 1655; г) 4300 � 5 � 4300 : 2 � 10 � 2150 � 10 � 21 500.26. а) 59 � 5���59 � 10 : 2 � 590 : 2 � 295; б) 181 � 5 � 181 � 10 : 2 � 1810 : 2 � 905; в) 679 � 5 � 679 � 10 : 2 � 6790 : 2 � 3395; г) 2830 � 5���2830 : 2 � 10 � 1415 � 10 � 14 150.27. а) 6800; б) 701 020; в) 530 000; г) 28 640.28. Г. 15 � 2 + 14 � 30 + 14 � 44; К. 9 + 39 : 3 � 9 + 13 � 22; И. 51 + 12 � 4 � 51 + 48 � 99; Ц. 8 + 8 � 10 � 8 + 80 � 88; М. 17 � 3 – 18 � 51 – 16 � 33; Й. 11 � 9 – 44 � 99 – 44 � 55; Н. 3 + 9 � 7 � 3 + 63 � 66; И. 36 : 4 + 2 � 9 + 2 � 11; А. 17 + 4 � 5 � 17 + 20 � 37.
33 37 44 66 11 88 22 99 55
М А Г Н И Ц К И Й
29. 15 325 000; 100 250.30. а) 1 392 000; б) 149 600 00; в) 40 426 000 000 000; г) 5 894 240 000.31. 3 + 380 + 320 + 40 + 120 � 863 (га).
§ 2. Числовые и буквенные выражения
32. 1) 15 – 5 � 10; 2) 15 : 5 � 3; 3) 15 + 5 � 20; 4) 2 � 15 � 30; 5) 3 � 5 � 15; 6) 2 � 15 + 3 � 5 � 30 + 15 � 45; 7) 2 � 15 – 3 � 5 � 30 – 15 � 15; 8) (2 � 15) : (3 � 5) � 30 : 15 � 2.33. 1) x – y; 2) x : y; 3) x + y; 4) 2x; 5) 3y; 6) 2x + 3y; 7) 2x – 3y; 8) (2x) : (3y).
338 ����������2002–2011 гг.*
* Решения и ответы приводятся к учебникам указанных годов.
339��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
34. Заменим в № 32 стоимость плитки шоколада буквой х, а стоимость батона хлеба — буквой у. Тогда получим такие же выражения, что и в № 33.
1) x – y; 2) x : y; 3) x + y; 4) 2x; 5) 3y; 6) 2x + 3y; 7) 2x – 3y; 8) (2x) : (3y).35. 1) Числовые выражения: 17 + 5 � 48; 86 : 2 + 43 � 15; буквенные выражения: 23 � 5 – 3x; 2x – m. 2) Числовые выражения: 21 + 56 � 7; 12 + 71 + 5 � 28; буквенные выражения: 2d – 54; x + y + z; 5t.36. а) 100 � (8 + 7) � 15 � 100 � 1500; б) (57 – 42) � 1000 � 15 � 1000 � 15 000; в) (32 + 24) : 7 � 56 : 7 � 8; г) 81 : (77 – 68) – 81 : 9 � 9;37. а) 15 � 2 + 42 : 6 � 30 + 7 � 37; б) 270 : 3 – 25 � 3 � 90 – 73 � 15; в) 17 � 3 + 4 � 13 � 51 + 52 � 103; г) 45 : 3 – 64 : 32 � 15 – 2 � 13.38. а) 3 � (a – b); б) 25 : (x + y); в) 3 � a + b; г) 72 – 2 � c.39. 1) 2 + 6 � 8 (км); 2) (2 + 6) : 2 � 4 (км); 3) 2 � (2 + 6) � 16 (км); 4) 2 � 2 � 4 (км); 5) 2 � 6 � 12 (км); 6) 2 � 6 – 2 � 2 � 12 – 4 � 8 (км); 7) (2 � 6) : (2 � 2) � 12 : 4 � 3 (раза).40. 1) (x + y) км; 2) (x + y) : 2 км; 3) 2(x + y) км; 4) 2x км; 5) 2y км; 6) 2(x – y) км; 7) 2x : 2y (раз).41. Л. (6 + 18) : 8 � 24 : 8 � 3; Г. 124 : (20 + 11) � 124 : 31 � 4; Р. 9 � (106 – 103) � 9 � 3 � 27; Е. 8 + (58 – 36) � 8 + 22 � 30; Б. 50 : (430 – 405) � 50 : 25 � 2; А. 33 : 3 � 11.
11 3 4 30 2 27 11
А Л Г Е Б Р А
42. а) 6 + 4 � 10; е) 86 – 54 � 32; б) 36 + 4 � 40; ж) 510 не делится нацело на 7; в) 32 : 8 � 4; з) 20 + 28 � 48; г) 6 � 30 � 180; и) 56 – 40 � 16. д) 9 – 4 � 5;43. а) 15 + 5 � 20; г) 25 � 3 � 75; ж) 30 – 17 � 13; б) 63 – 12 � 51; д) 27 : 9 � 3; з) 540 – 500 � 40; в) 35 : 5 � 7; е) 36 : 4 � 9; и) 640 + 360 � 1000.44. 1) 720; 1440; 2880; 5760; 2) 1286; 1504; 1784; 2896.45. 1) 47; 2) 27; 3) 21.46. а) 103; б) 177; в) 11; г) 23.47. а) 41; б) 14; в) 27; г) 185.
340 ����������2002–2011 гг.
48. а 1 4 7 12 20
a + 6 7 10 23 18 26
6а 6 24 42 72 120
49. а) b; б) а; в) b; г) а.50. а) m; б) m; в) n; г) n.51. а) m � 8 + n; б) a � 4b; в) c � d – 3; г) e � g : 6.52. I — 500 кг II — 2200 кг III — ? на 250 кг >,
⎫⎬⎭?
1) 500 + 250 � 750 (кг); 2) 500 + 2200 + 750 � 3450 (кг). Ответ: трем магазинам продано 3450 кг кондитерских изделий.
53. −1 450 000
500 000
950 000 (ð.)
Ответ: чистый доход, полученный фабрикой за год равен 950 000 р.54. 35 000 – 5000 � 30 000 (р.). Ответ: чистый доход предприятия увеличился на 30 000 р.
Контрольные задания
1. Числовые выражения: 328 – 18 � 3; 81 : 9 + 72. Буквенные выражения: 3a – 178; x – 5y.2. 5 � 4 + 17 � 20 + 17 � 37.3. а) (3m) р.; б) (2t) р.; в) (3m + 2t) р.
§ 3. Язык геометрических рисунков
55. М. 20; О. 29; Т. 36; Г. 22; Р. 12; Я. 16; И. 7; Е. 24.
22 24 29 20 24 36 12 7 16
Г Е О М Е Т Р И Я
57. 1. а) АВ; б) пересекаются прямые CD и АВ; EF и АВ; прямые CD и EF
не пересекаются. 2. Точки М и N принадлежат прямой а, а точки С и D ей не
принадлежат. 3. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Прямая а пересекает отрезок MN в точке K.
341��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
58.
59. Угол СВА (или АВС); треугольник ORT; четырехугольник DKEF (трапеция); прямоугольный треугольник NTV.
60. 1) 52 – 13 � 39 (км/ч); 2) 52 : 13 � 4 (раза); 3) 260 : 13 � 20 (ч); 4) 260 : 52 � 5 (ч); 5) 260 : 13 – 260 : 52 � 20 – 5 � 15 (ч); 6) (260 : 13) : (260 : 52) � 20 : 5 � 4 (раза); 8) 260 : (13 + 52) � 260 : 65 � 4 (ч).61. 1) (y – x) км/ч; 2) (y : x) (раз); 3) (260 : х) (ч); 4) (260 : у) (ч); 5) (260 : х – 260 : у) (ч); 6) (260 : x) � (260 : y) (раз); 7) (260 : (x + y)) (ч).62. х 24 36 42 180 240
x – 6 18 30 36 174 234
х : 6 4 6 7 30 40
63. а) 89 367 288; 89 788; б) 89 367 288; 36 288.64. 1) 17; 4) 21; 7) 37; 10) 44; 2) 19; 5) 13; 8) 54; 11) 51; 3) 19; 6) 24; 9) 20; 12) 34.65. 1) 850; 5) 700; 9) 5200; 13) 2400; 2) 2150; 6) 900; 10) 9100; 14) 14 000; 3) 2650; 7) 1300; 11) 11 200; 15) 37 000; 4) 6100; 8) 2100; 12) 14 000; 16) 43 000.66. Если первое слагаемое увеличится на 16, а второе — на 4, то сумма
увеличится на 20; — если первое слагаемое увеличится на 30, а второе уменьшится на 5,
то сумма увеличится на 25; — если первое слагаемое увеличится на 18, а второе уменьшится на 4,
то сумма увеличится на 14; — если первое слагаемое увеличится на 3, а второе уменьшится на 8,
то сумма уменьшится на 5; — если первое слагаемое уменьшится на 5, а второе увеличится на 15,
то сумма увеличится на 10; — если первое слагаемое уменьшится на 12, а второе — на 5, то сумма
уменьшится на 17.
342 ����������2002–2011 гг.
67. Клубничное варенье — 850 г Вишневое варенье — ? в 2 раза >, Сливовое варенье — ? на 300 г >,
⎫⎬⎭?
Решение. 1) 850 � 2 � 1700 (г); 2) 850 + 300 � 1150 (г); 3) 850 + 1700 + 1150 � 3700 (г). Ответ: Наташа привезла в подарок 3700 г варенья.68. 1) 14 – 12 � 2 (июля); 2) 19 ч 30 мин – 10 ч 20 мин � 9 ч 10 мин. Ответ: теплоход отплыл из Уфы 2 июля в 9 ч 10 мин.69. 6 ч 20 мин 15 с + 10 мин 40 с � 6 ч 30 мин 55 с. Ответ: правильное время 6 ч 30 мин 55 с.
Контрольные задания
1. Прямая АВ, отрезок MN, треугольник CDE.2.
§ 4. Прямая. Отрезок. Луч
70. 1)
2) один отрезок соединяет точки А и В. 3) через точки С и D проходит только одна прямая.
4) Прямые MN и CK не могут иметь других точек пересечения, кроме точки А.
Любые две пересекающиеся прямые могут иметь только одну точку пересечения.
71. Лучи KL и АВ пересекаются. Лучи KL и MN, лучи АВ и MN не пересекаются.72.
343��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
73. 2) Отрезок — все точки прямой, расположенные между какими-либо двумя точками этой прямой, и сами эти две точки.
Луч — все точки прямой, расположенные по одну сторону от какой-либо точки этой прямой и сама эта точка.
74. 1) Каждое число нижней строки на 10 больше соответствующего числа верхней строки.
а) Под числом 10 должно стоять число 20; а под числом 100 — число 110;
б) п + 10. 2) Каждое число нижней строки в 2 раза больше соответствующего
числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 20; а под число 100 — число
200; б) 2п. 3) Каждое число нижней строки получается умножением на само
себя соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 100; а под числом 100 —
число 10 000; б) п � п. 4) Каждое число нижней строки в 3 раза больше соответствующего
числа нижней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 30; а под числом 100 —
число 300; б) 3 � п. 5) Каждое число нижней строки на 1 меньше соответствующего
числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 9; а под числом 100 — число
99; б) п – 1. 6) Каждое число нижней строки получается умножением на себя
3 раза соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 10 � 10 � 10 � 1000; а под
числом 100 — число 100 � 100 � 100 � 1 000 000; б) п � п � п.75. 1) 12 � 50 м; 2) 200 м; 3) (5 � 12) : (200 – 50) мин.76. а) (y – x) м/мин; б) 10: (y – x) мин.77. 1) Скорость волка — 3х м/мин; 2) скорость сближения волка и зайца — (30 – х) м/мин; 3) время, которое потребуется волку, чтобы догнать зайца — 10 : (3х – х) мин.
78. а 5 6 7 8 9
b 10 5 2 1 0
2a + 3b2 � 5 + + 3 � 10 � 40
2 � 6 + + 3 � 5 � 27
2 � 7 + + 3 � 2 � 20
2 � 8 + + 3 � 1 � 19
2 � 9 + + 3 � 0 � 18
4a – 2b4 � 5 – – 2 � 10 � 20
4 � 6 – – 2 � 5 � 14
4 � 7 – – 2 � 2 � 24
4 � 8 – – 2 � 1 � 30
4 � 9 – – 2 � 0 � 36
344 ����������2002–2011 гг.
79. а) 100 – 28 � 72; в) 100 – 63 � 37; д) 25 – 15 � 10; б) 100 – 31 � 69; г) 100 – 79���21; е) 75 – 45 � 30.80. а) 50 – 25 � 25; в) 50 – 18 � 32; д) 25 – 8 � 17; б) 50 – 32 � 18; г) 50 – 29 � 21; е) 75 – 34 � 41.81. 1) 15 + 2 � 17 (км/ч); 2) 15 – 2 � 13 (км/ч); 3) 3 � (15 + 2) � 51 (км); 4) 3 � (15 – 2) � 3 � 13 � 39 (км); 5) 68 : (15 + 2) � 68 : 17 � 4 (ч); 6) 78 : (15 – 2) � 78 : 13 � 6 (ч); 7) (15 + 2) – (15 – 2) � 17 – 13 � 4 (ч).82. 2) (х + 2) км/ч; (х – 2) км/ч; (х + 2) – (х – 2) км/ч; t — определенное время, тогда: t � (x + 2) км; t � (x – 2) км; А — путь при движении по течению реки, тогда: А : (х + 2) ч —
необходимое время для преодоления этого пути; В — путь при движении против течения реки, тогда В : (х – 2) ч —
необходимое время для преодоления этого пути. 3) 8 � (х + 2) — расстояние, которое пройдет катер за 8 ч по течению
реки; 10 � (х – 2) — расстояние, которое пройдет катер за 10 ч против
течения реки.83. Задача. Лера нашла 49 грибов; Юля — ? в 2 раза меньше, чем Саша — ? на 20 грибов меньше, чем
} Решение. 1) 48 : 2 � 24 (гриба); 2) 48 + 24 � 72 (гриба); 3) 72 – 20 � 52 (гриба); 4) 52 – 48 � 4 (гриба); 5) 52 – 24 � 28 (грибов). Ответ: больше всех грибов набрал Саша, что на 4 гриба больше, чем
Лера и на 28 грибов больше, чем Юля. Саша набрал 52 гриба.85. а) 100 20 39 13 305 19 3 17: : ;⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯+ +
б) 8 56 30 90 457 26 3 45⋅ − ⋅ −⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ; в) 15 45 55 11 403 10 5 29⋅ + +⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯: ; г) 48 8 50 25 126 42 2 13: : .⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯+ −
Контрольные вопросы
1. Один.2. Только одну.3. Изображение отрезка ограничено 2 точками: началом и концом
отрезка.
345��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
§ 5. Сравнение отрезков. Длина отрезка
88. AB � AD; BC � DC.89. CM � AM; BM � DM; BC � CD � AD � AB.
А
В
С
DM
90. MO � OK � LO � ON; ML � NK; MN � LK.91. а) 1) 15 + 19 � 34 (см); 2) 50 – 34 � 16 (см). Ответ: 16 см.
б) 1) 38 + 26 � 64 (см); 2) 64 – 50 � 14 (см). Ответ: 14 см. в) Рисунок аналогичный рисунку в задании а). 1) 23 + 21 � 44 (см); 2) 50 – 44 � 6 (см). Ответ: MN � 6 см. г) Рисунок аналогичный рисунку в задании б). 1) 42 + 34 � 76 (см); 2) 76 – 50 � 26 (см). Ответ: MN � 26 см.92. а) MN � 3 � AB � 3 � a (см); б) KL � AB + 25 � a + 25 (см); в) CD � AB : 4 � a : 4 (см); г) EF � AB – 8 � a – 8 (см).93. а) BC � AC – AB � 10 – 7; б) BC � AC – AB � 10 – x; в) BC � AB + AC � x + 2; г) BC � AD – (AB + CD) � a – (x + c).94. а) AB � 2x � 2 � 5 � 10 (см);
б) ED � 3x � 3 � 5 � 15 (см);
в) FK � x : 2 � 5 см : 2 � 2 см 5 мм;
г) РО � х : 4 � 5 см : 4 � 1 см 15 мм.
346 ����������2002–2011 гг.
95. Уменьшаемое Вычитаемое Разность
+6 +4 6 – 4 � 2, т.е. +2
+2 –5 +7
+18 –6 +24
+45 –10 +55
–17 +7 –24
–9 +5 –14
96. а) m � 4n; n � m : 4; m : n � 4; б) a � b : 4; b � a – 4; a – b � 4; в) c � d : 4; d � 4c; d : c � 4; г) e � g – 4; g � e + 4; g – e � 4.101. 1 способ 1) 115 – 90 � 25 (км/ч); 2) 3 � 25 � 75 (км). 2 способ 1) 3 � 115 � 345 (км) — путь легкового автомобиля; 2) 3 � 90 � 270 (км) — путь грузовика; 3) 345 – 270 � 75 (км). Ответ: грузовик отстанет от легкового автомобиля на 75 км. Для того, чтобы эта задача решалась в одно действие, можно изме-
нить вопрос задачи. Например, какое расстояние будет между грузовиком и легковым
автомобилем через 1 час после начала движения? Тогда решение имеет вид: 115 – 90 � 25 (км).
Контрольные задания
1. Отрезки равны, если при наложении их можно совместить. Отрезки равны, если они имеют одинаковую длину.2. AB � CD; BC � AD; AO � OC; BO � OD.3. MN � NK � LK � ML; KO � ON � MO � OK.
§ 6. Ломаная
102. 1) Замкнутые ломаные: CDEFGHIJAB, MNKLP; незамкнутые ломаные: ABCDE; MNKL. 2) MNKLP; NKLPM; KLPMN; LPMNK; PMNKL; MPLKN;
NMPLK; KNMPL; LKNMP; PLKNM. Таким образом, замкнутую ломаную MNKLP можно назвать 10 спо-
собами.103. ABCD.
347��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
104. 12 незамкнутых ломаных:
105. 3 замкнутые ломаные:
106. Длина ломаной равна сумме длин всех звеньев, из которых она со-стоит.
1) MNKEP — незамкнутая ломаная. Ее длина: MN + NK + KE + EP � 2 см +
+ 3 см + 1 см + 4 см � 10 см. 2) AB + BC + CD � 1 см 8 мм + 2 см 5 мм +
+ 1 см 9 мм � 6 см 2 мм.107. a + b + c.
348 ����������2002–2011 гг.
108. а) AB � x см ВС — в 2 раза >, чем CD — на 6 см <, чем
⎫⎬⎭?
Решение. (x + 2x + (x – 6)) см. б) AB � y см; ВС — в 3 раза <, чем CD — на 8 см >, чем
⎫⎬⎭?
Решение. (y + y : 3 + (y : 3 + 8)) см.109. Длина ломаной MNKL (незамкнутой): MN + NK + KL. а) MN � a NK — в 3 раза >, чем KL — на 12 см >, чем
⎫⎬⎭?
Решение. (a + 3a + (a + 12)) см. б) MN � b NK — на 7 см >, чем KL — в 4 раза >, чем
⎫⎬⎭?
Решение. (b + (b + 7) + 4(b + 7)) см.
110. Множитель Множитель Результат
� 2 � 2 � 4� 2 � 10 � 20
: 2 : 10 : 20
: 10 � 10 не изменится
: 10 : 10 : 100
: 100 : 10 : 100
111. а) 100 – 17 � 83; в) 50 – 24 � 26; д) 100 – 6 � 94; б) 100 – 64 � 36; г) 50 – 36 � 14; е) 100 – 73 � 27.112. а) 100 – 82 � 18; в) 50 – 39 � 11; д) 75 – 50 � 25; б) 100 – 8 � 92; г) 50 – 14 � 36; е) 50 – 22 � 28.113. а) Стоимость трех книг — 3х; б) 2у — стоимость двух альбомов; в) (у – х) — на сколько альбом дороже книги; г) (5х + 4у) — стоимость 5 книг и 4 альбомов.114. а) (a + b) км/ч — скорость, с которой пассажирский и товарный по-
езда удаляются друг от друга; б) (1750 : а) ч — время, необходимое пассажирскому поезду для
преодоления 1750 км; в) (1750 : b) ч — время, необходимое товарному поезду для преодо-
ления 1750 км; г) 1750 : (a + b) ч — время сближения поездов, если они выйдут
одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 1750 км.
349��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
115. Задача. I окунь — 400 г II окунь — ? на 60 г >, чем III окунь — ? в 2 раза <, чем
}
⎫⎬⎭?
Решение. 1) 400 + 60 � 460 (г); 2) 400 + 460 � 860 (г); 3) 860 : 2 � 430 (г); 4) 860 + 430 � 1290 (г). Ответ: масса всех трех окуней равна 1290 г или 1 кг 290 г.116. Возможные варианты кодового номера магнитной карты Антона: 9697; 9688; 9679; 6997; 6988; 6979; 7897; 7888; 7879; 8788; 8779. Нельзя утверждать, что Антон сможет воспользоваться картой,
если ошибется 4 раза, так как всего 12 вариантов кодового номера его карты.
Контрольные задания
1. Ломаная ABCDE — незамкнутая, состоит из 4 звеньев: AB, BC, CD, DE.
2. Ломаная MNKLT — замкнутая, состоит из 5 звеньев: MN, NK, KL, LT, ТM.
§ 7. Координатный луч
118. 7; 9; 13; 17; 20; 21.119. C, F, I, N, U.120. а)
б)
121.
122. а) A(6); B(12); C(15); D(21); F(30); G(42); H(63); б) A(10); B(20); C(25); K(30); D(35); F(50); G(70); H(105);
350 ����������2002–2011 гг.
в) A(15); B(45); C(60); D(90); F(135); G(195); H(300); г) A(4); B(20); C(24); D(44); F(52); G(64); H(80).123. а) 4;
б) 10;
в) 30;
г) 25;
124. 31 + 7 � 38; 48 – 25 � 23.125. 1) а) 40 + 8 + 15 � 63; б) 32 – 16 – 14 � 2; 2) а) 40 + 23 � 63; б) 32 – 30 � 2.126. 1) 6 � (4 + 3) � 6 � 7 � 42 (м2); 2) 28 : (4 + 3) � 28 : 7 � 4 (ч).127. 1) 360 : 6 � 60 (деталей) — изготавливает мастер за 1 день; 2) 360 : 12 � 30 (деталей) — изготавливает ученик за 1 день; 3) 60 + 30 � 90 (деталей) — изготавливают ученик и мастер за
1 день, работая одновременно; 4) 360 : 90 � 4 (дня). Ответ: за 4 дня, работая одновременно, мастер и ученик изготовят
360 деталей.128. 1) 1800 : 90 � 20 (м) — за 1 день ремонтирует I бригада; 2) 1800 : 45 � 40 (м) — за 1 день ремонтирует II бригада; 3) 20 + 40 � 60 (м) — за 1 день ремонтируют I и II бригады вместе; 4) 1800 : 60 � 30 (дней). Ответ: за 30 дней будет закончен ремонт дороги, если обе бригады
будут работать совместно.
Контрольные вопросы
2.
3. M(3); N(9); K(17).
§ 8. Округление натуральных чисел
132. а) 2578 � 2600; 86 039 � 86 000; б) 448 731 � 449 000; 2 180 960 � 2 181 000; в) 7 734 106 � 8 000 000; 6 381 710 � 6 000 000; г) 12 803 326 � 12 800 000; 257 902 581 � 257 900 000.133. а) 8 999 996 � 9 000 000; б) 8 999 996 � 9 000 000; в) 8 999 996 � 9 000 000; г) 8 999 996 � 9 000 000.
351��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
134. а) до тысяч; б) до десятков тысяч; в) до сотен; г) до сотен тысяч.135. 99 999 995.136. 15 : 5 � 3 (ч). Ответ: Аладдин потратит на возвращение примерно 3 часа.137. 1) 17 � 6 � 102 (км), 102 � 100; 2) 16 – 6 � 10 (ч). Ответ: машине понадобится примерно 6 ч для очистки пути; начать работу ей нужно примерно в 10 ч, чтобы закончить очистку
в 16 ч.139. 1) 24 : 4 � 6 (га) — орошает I машина за 1 час; 2) 24 : 3 � 8 (га) — орошает II машина за 1 час; 3) 6 + 8 � 14 (га) — поливают обе машины за 1 день, работая одно-
временно; 4) 14 � 8 � 112 (га). Ответ: машины за 8 ч совместной работы оросят 112 га.140. а) 100 – 15 � 85; б) 80 + 15 � 95; в) 50 + 13 � 63; г) 70 – 10 � 60.141. а) +61; б) –20; в) +20; г) –8; д) –20; е) +6.142. 40 рублей.143. Иа-Иа записал число 181 (1 + 8 + 1 � 10; 1 + 0 � 1). Пятачок записал число 929 (9 + 2 + 9 � 20; 2 + 0 � 2).144. 1) 48 : 3 � 16 (км/ч) — скорость катера по течению реки; 2) 16 – 2 � 14 (км/ч). Ответ: собственная скорость катера равна 14 км/ч.145. 1) 60 : 4 � 15 (км/ч) — скорость теплохода против течения реки; 2) 16 – 15 � 1 (км/ч). Ответ: скорость течения реки равна 1 км/ч.146. 1) 88 : 8 � 11 (км/ч) — скорость лодки против речения реки; 2) 88 : 22 � 4 (км/ч) — скорость течения реки; 3) 11 + 4 � 15 (км/ч). Ответ: скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.147. 1) 48 : 3 � 16 (км/ч) — скорость теплохода по течению; 2) 48 : 24 � 2 (км/ч) — скорость течения реки; 3) 16 – 2 � 14 (км/ч). Ответ: при движении по озеру скорость теплохода равна 14 км/ч.148. 1) 12 � 19 � 228 (м) — преодолел автобус за 12 с; 2) 228 – 180 � 48 (м) — преодолел прохожий за 12 с; 3) 48 : 12 � 4 (м/с). Ответ: прохожему пришлось бежать со скоростью 4 м/с.149. а) � 6; б) : 5; в) : 5; г) : 6; д) � 3; е) � 3.
Контрольные задания
1. 68 823 � 69 000; 238 480 � 238 000; 2 560 511 � 2 561 000.2. а) До десятков тысяч; б) до сотен.
352 ����������2002–2011 гг.
§ 9. Прикидка результата действия
152. а) Десятки тысяч; цифра 1; б) если второе число уменьшить в два раза, то старший разряд сум-
мы не изменится; если второе число увеличить в 2 раза, то не изменится; если увеличить в 10 раз, то не изменится; если уве-личить в 100 раз, то изменится. Если первое число уменьшить в 2 раза, то старший разряд суммы изменится, а если его увели-чить в 2 раза, то тоже изменится;
в) десятки тысяч; цифра 1; г) если второе число уменьшить в 2 раза, то старший разряд разно-
сти не изменится; а если увеличить в 2 раза, то не изменится, но если увеличить в 10 раз, то изменится.
Если первое число уменьшить в 2 раза, то старший разряд раз-ности изменится, а если увеличить в 2 раза, то изменится цифра старшего разряда разности.
153. Пусть х г — масса одного огурца. На рисунке видно 10 огурцов. Со-ставим уравнение, учитывая, что 1 кг � 1000 г:
10x + 500 + 100 � 1000 + 1000; 10x + 600 � 2000; 10x � 2000 – 600; 10x � 1400; x � 1400 : 10; x � 140. Значит, 140 г весит один огурец. Ответ: масса одного огурца равна 140 г.154. 1) 31 691 � 30 000; 490 � 500; 31 691 490 � 30 000 � 500 � 15 000 000. Поэтому, Пончик стал миллионером. б) 30 000 � 250 � 7 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы цена на соль была в 2 раза
ниже. 3000 � 50 � 1 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы цена на соль была в 10 раз
ниже. в) 30 000 : 2 � 15 000; 15 000 � 500 � 7 5000 000. Пончик стал бы миллионером, если бы ему удалось продать соли
в 2 раза меньше. 30 000 : 10 � 3000; 3000 � 500 � 1 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы ему удалось продать соли
в 10 раз меньше. г) 150 000 000 : 500 � 300 000 (г). Пончику нужно продать больше 300 000 г соли, чтобы купить
виллу.155. а) 20 км � 2 000 000 см; 24 см � 20 см; 2 000 000 : 20 � 100 000.165. а) (24 + 12) � 2 � 72; б) (150 – 60) : 3 � 30; в) 72 : (36 – 24) � 10 � 60; г) 150 – (2 � 24 + 12) : 6 � 140.
353��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
166. а)
б)
в)
г)
Контрольные вопросы
1. Десятки тысяч.2. Сотни.3. Тысячи.4. Сотни.
§ 10. Вычисления с многозначными числами
167. 1) +
2 741 439
45 361
2 786 800
2) +
6 478 497
5 954 502
12 432 999
3) −
922 564
723 154
199 410
4) −
564 589
57 175
507 414168. а)
+48 489
72 655
121144
б) +
4 728 088
252 245
4 980 333
в) −
5 388 226
2 881 622
2 506 604
г) −1 925 908
71 414
1 854 494169. а)
+485 992
68 622
554 614
б) −
329 527
177 028
152 499
в) +
442 774
652 887
1 094 887
г) −131 357
81 592
49 765
170. а) Река Амазонка Висла Ганг Дунай Муррей Нил Ориноко Сена
Длина, км
6400 1047 2700 2850 2570 6671 2730 776
1) +2850
3821
6671
2) −6671
271
6400
3) −6400
5353
1047
4) +1047
1653
2700
5) −
2700
130
2570
6) +
2570
160
2730
7) −
2730
1954
776
б) Из перечисленных рек самая длинная — Нил (6671 км), а сама короткая — Сена (776 км).
Ориноко короче Амазонки на 3670 км −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
6400
2730
3670
;
354 ����������2002–2011 гг.
Нил длиннее Ганга на 3971 км −
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
6671
2700
3971
.
171. Пельсианы — ? Рангаты — ? Кабриосы — ?
}1250 юке
1084 юке
⎫⎬⎪
⎭⎪1780 юке.
Решение. 1)
−1780
1084
696
(юке) — рангаты;
2) −1250
696
554
(юке) — пельсианы;
3) −1084
554
530
(юке) — кабриосы. Ответ: рангаты стоят 696 юке, пельсианы — 554 юке, кабриосы —
530 юке.172 Первый и третий примеры вычислены неправильно.173. а) 5000 � 100 � 500 000; б) 4000 � 700 � 2 800 000;
×5243
128
41944
10486
5243
671104
×4359
700
3051300
в) 7000 � 500 � 3 500 000; г) 5000 � 4000 � 20 000 000;
×7051
503
21153
35255
3546653
×4506
4110
4506
4506
18024
18519660
д) 5000 � 400 � 20 000 000; е) 500 � 500 � 2 500 000;
×4503
356
27018
22515
13509
1603068
×5006
474
20024
35042
20024
2372844
355��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
174. а) 20 000 � 3000 � 60 000 000; б) 70 000 � 200 � 14 000 000;
×20134
3005
100670
60402
60502670
×70342
201
70342
140684
14138742 в) 13 000 � 800 � 10 400 000; г) 400 � 90 000 � 36 000 000;
×13150
752
26306575
9205
9888800
×90012
456
540072450060
360048
41045472
д) 7000 � 8000 � 56 000 000; е) 6000 � 700 � 4 200 000;
×6520
8000
52160000
×5604
705
28020
39228
3950820
175. а) 50 000 � 2000 � 100 000 000; б) 3000 � 8000 � 24 000 000;
×2307
46200
4614138429228
106593400
×3465
8012
69303465
27720
27761580
в) 8000 � 400 � 3 200 000; г) 7000 � 3000 � 21 000 000;
×8230
400
3292000
×3249
7006
19494
22743
22762494 д) 1000 � 100 � 100 000; е) 50 � 9000 � 450 000;
×1035
96
6210
9315
99360
×9008
54
36032
45040
486432
356 ����������2002–2011 гг.
176. 1) ×
2105
125
10525
4210
2105
263125 (p.)
2) ×4731
50
236550 (p.)
3) +2105
4731
6836
(чел.)
4) −15936
6836
9100
5) ×
9100
35
455
273
318500 (p.)
6) +
236550
263125
318500
818175 (p.)
Ответ: выручка от продажи билетов на футбольный матч состави-ла 818 175 р.
177. 1) ×
35
12
70
35
420
(вагонов);
2) ×
420
46000
252
168
19320000
(кг);
19 320 000 кг � 19 320 т. Ответ: на комбинат перевезут 19 320 т зерна.
178. 1) ×
4537
5
22685
(л) — выкачали большие насосы за 1 час;
2) ×
2120
3
6360
(л) — выкачали малые насосы за 1 час;
3) +
22685
6360
29045
(л) — выкачали насосы вместе за 1 час;
4) ×
29045
6
174270
(л).
Ответ: в подвале скопилось во время наводнения 174 270 л воды.
357��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
179. 1 способ
1) ×
257
17
1799
257
4369
2) +
257
17
274
3) −4369
274
4095
2 способ
1) 17 – 1 � 16; 2) ×
257
16
1542
257
4112
3) −
4112
17
4095
Ответ: разница между требуемым и полученным числом составля-
ет 4095.
180. Правильно выполнены вычисления 1) и 3).
В вычислении 2) правильный ответ 501.
181. а) 3000 : 20 � 150; б) 12 000 : 300 � 40;
−
−
−
2898
23
23
126
59
46
138
138
0
−
−
11040
1035
345
32
690
690
0
в) 70 000: 100 � 700; г) 40 000 : 70 � 600;
−69000
690
138
500
0
−
−
−
37872
360
72
526
187
144
432
432
0
358 ����������2002–2011 гг.
д) 550 000: 90 � 6000; е) 12 000 : 60 � 200;
−
−
546455
546
91
6005
4
45
455
455
0
−
−
11774
116
58
203
17
174
174
0
182. а) 200 000 : 50 � 4000; б) 60 000 : 100 � 600;
−
−
−
162648
162
54
3012
6
64
54
108
108
0
−
−
−
60625
500
125
485
1062
1000
625
625
0
в) 170 000 : 30 � 6000; г) 20 000 : 500 � 40;
−
−
−
166496
160
32
5203
64
64
9
96
96
0
−
−
17898
1413
471
38
3768
3768
0
д) 400 000 : 100 � 4000; е) 30 000 : 50 � 600;
−
−
380665
380
95
4007
6
66
665
665
0
−
−
34349
343
49
701
4
49
49
0
359��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
1 4 2 5 3183. а) 308 � 37 – 29 � 101 + 253 � 9 � 10 744;
1) ×
+
308
37
2156
924
11396
2) ×
+
101
29
909
202
2929
3) ×253
9
2277
4) −11396
2929
8467
5) +8467
2277
10744
1 2 б) (3107 + 287) � 43 � 145 942;
1) +
3107
287
3394
2) ×
3394
43
10182
13576
145942
1 3 4 2 в) 38 027 � 24 + 24 508 – 2408 � 356 � 79 908;
1) ×
38027
24
152108
76054
912648
2) ×
2408
356
14448
12040
7224
857248
3) +
912648
24508
937156
4) −
937156
857248
79908
1 4 2 3 г) (10 000 – 7875) � (10 � 201 – 1785) � 478 125;
1) −10000
7875
2125
2) 201 � 10 � 2010; 3) −
2010
1785
225
4) ×2125
225
10625
4250
4250
478125
184. 1) 78 т 625 кг � 78 625 000 г;
2) 18 кг 500 г � 18 500 г;
3) 78 625 000 : 18 500 � 4250 (мон.);
360 ����������2002–2011 гг.
−
−
−
786250
740
185
4150
462
370
925
925
0
Ответ: в трейлер погрузили 4250 мониторов.
185. −
−
1025550
95400
11925
86
71550
71550
0
Ответ: на одного человека приходится в среднем 86 л воды в день.186. 1)
−93600
72000
21600 ( )ð.
2) −
−
21600
21
30
720
6
6
0
( .)ð
Ответ: оптовая цена куртки меньше розничной на 720 р.187.
+78
43
35
156 ( )ð.
Ответ: цена 1 кг получившейся смеси — 156 р. 1) Если взятьпо 2 кг печенья каждого сорта, то стоимость смеси уве-
личится в 2 раза. Но цена смеси не изменится. А если взять по пол килограмма, то стоимость смеси уменьшится в 2 раза, но цена сме-си при этом не изменится.
2) Если к смеси добавить 1 кг печенья третьего сорта, то ее цена уве-личится на 35 р., а если первого сорта, то увеличится на 78 р.
188. 1) 2 р. 20 к. � 220 к.; 2) 20 � 220 � 4400 (к.) � 44 (р.) — стоимость 20 л воды; 3) 44 + 88 � 132 (р.) — стоимость напитка; 4) 20 + 2 � 22 (р.) — количество напитка; 5) 132 : 22 � 6 (р.) — цена напитка. Ответ: стоимость напитка — 132 р., а его цена — 6 р. 1 2 3 7 4 5 6 а) (320 : 8 – 30) : 2 + (578 : 17 + 87) : 11 � 16; 1) 320 : 8 � 40; 2) 40 – 30 � 10; 3) 10 : 2 � 5;
361��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
4) −
−
578
51
17
34
68
68
0
5) +
34
87
121
6) −
−
121
11
11
11
11
11
0
7) 5 + 11 � 16;
1 2 3 5 4 б) (395 � 52 – 603) � 25 – 960 : 24 � 498 385;
1) ×
395
52
790
1975
20540
2) −
20540
603
19937
3) ×
19937
25
99685
39874
498425
4) −
960
96
24
40
0
5) −
498425
40
498385
1 4 2 5 3 в) 395 � 52 – 603 � 25 – 960 : 24 � 5425; 1)
×395
52
790
1975
20540
2) ×
603
25
3015
1206
15075
3) −
960
96
24
40
0
4) −
20540
15075
5465
5) −
5465
40
5425
1 3 2 г) 256 � 407 – 33 078 : 298 � 104 081; 1)
×256
407
1792
1024
104192
2) −
−
−
33078
298
298
111
327
298
298
298
0
3) −104192
111
104081
190. Между 30 липами, по условию, есть 29 мест для высадки камелий. 1) 29 � 2 � 58 (к.) — камелий по одну сторону аллеи; 2) 58 � 2 � 116 (к.). Ответ: посадили 116 кустов камелий.191. а) (s – 4) — длина грунтовой дороги; 3v — скорость автомобиля по шоссе;
362 ����������2002–2011 гг.
(s : 3v) — время, за которое автомобиль по шоссе доедет из посел-ка Левино до поселка Новопокровское;
(s – 4) : v — время, за которое автомобиль по грунтовой дороге преодолеет пусть от поселка Левино до поселка Новопокровское.
б) Равенство s : 3v � (s – 4) : v означает, что автомобиль преодолевает путь по грунтовой дороге и по шоссе за одинаковое время.
192. а)
б)
193. а)
б)
Контрольные задания
а) +4 570 852
64 208
4 635 060
б) −
6 353 054
738 536
5 614 518
в) ×
24042
307
168294
72126
7380894
г) −
−
2835
27
27
105
13
135
135
0
§ 11. Прямоугольник
194. а)
Р � 10 + 6 + 5 + 3 + 5 + 3 � 20 + 12 � 32; S � S1 + S2 � 3 � 5 + 3 � 10 � 15 + 30 � 45;
363��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
P � 6 + 10 + 2 � 5 + 2 � 3 � 16 + 16 � 32; S � S1 + S2 � 6 � 5 + 3 � 5 � 30 + 15 � 45;
P � 2 � (6 + 10) � 2 � 16 � 32; S � S2 – S1 � 6 � 10 – 3 � 5 � 60 – 15 � 45. Далее будем рассматривать один из указанных способов решения: б)
Р � 2(a + b); S � ab – (a – d) � (b – c); в)
P � 2 � (a + b); S � ab – cd; г)
P � 2 � (a + b); S � ab – d � (a – c).195. Площадь каждой из закрашенных фигур равна 1 см2, так как со-
ставляет 4 полных клетки.196. 1) — равные прямоугольники: 1) и 7); 2) и 6); 4) и 5); — прямоугольники, имеющие одинаковую площадь: 2), 4), 5), 6);
3), 1) и 7); — прямоугольники, имеющие одинаковый периметр: 1), 4), 7),
5); 2) и 6); 2) — нет; — нет; — нет; — нет; — нет.197. 1) Площади всех фигур, изображенных на рисунке 27 равны. Рав-
ных фигур среди изображений нет.
364 ����������2002–2011 гг.
2) — истинно; — ложно; — ложно; — истинно.198. а) 5 см; б) 8 см; в) 10 см; г) 12 см (так как S � 12 � 12 � 144 (см2)).199. 100 � 10 � 10 � 2 � 50 � 5 � 20 � 4 � 25 Поэтому периметр прямоугольника может быть равным: 2 � (10 + 10) � 40 (см); 2 � (2 + 50) � 104 (см); 2 � (5 + 20) � 50 (см); 2 � (4 � 25) � 58 (см). Наименьший периметр у прямоугольника со сторонами 10 см
и 10 см, т.е. у квадрата со стороной 10 см.200. а) 24 + 15 � 39; 24 – 15 � 9. Значит, от числа 24 на 15 единичных отрезков удалены точки с
координатами 9 и 39; б) 78 + 159 � 237. От числа 78 на 159 единичных отрезков удалена точка 237.201. а)
б)
в)
г)
202. а)
б)
в)
2 1 3203. а) (6568 – (8007 – 6999)) � 1001 � 5 565 560;
1) −
8007
6999
1008
2) −
6568
1008
5560
3) ×
5560
1001
556
556
5565560
365��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
3 4 1 2 5 б) (801 � 601 + (10 000 – 9876) � 99) � 40 � 19 747 080; 1)
−10000
9876
124
2) ×124
99
1116
1116
12276
3) ×
801
601
801
4806
481401
4) +
481401
12276
493677
5) ×
493677
40
19747080
2 1 в) 157 464 : (14 904 : 23) � 243; 1) −
−
−
14904
138
23
648
110
92
184
184
0
2) −
−
−
157464
1296
648
243
2786
2592
1944
1944
0
1 3 2 г) (97 548 + 69 432) : (16 400 – 15 388) � 165;
1) +97548
69432
166980
2) −16400
15388
1012
3) −
−
−
166980
1012
1012
165
6578
6072
5060
5060
0204. а) 1) 1000 : 10 � 100 (л); 2) 8500 : 100 � 85 (р.) — стоит 10 л бензина; 3) 210 : 10 � 21 (л);
×85
21
85
170
1785
(р.). Ответ: 210 л бензина стоят 1785 р. б) 1) 52 ч 30 мин � 52 � 60 мин + 30 мин � 3120 мин + 30 мин �
��3150 мин;
366 ����������2002–2011 гг.
2) 3150 : 10 � 315 (мин) — затрачивает рабочий на изготовление 1 детали;
3) 43 ч 45 мин � 43 � 60 мин + 45 мин � 2580 мин + 45 мин � ��2625 мин;
4) −
−
2625
25
25
105
12
125
125
0
(мин) — затрачивает станок-автомат на
изготовление 1 детали;
5) 315 : 105 � 3 (раза). Ответ: автомат работал быстрее рабочего в 3 раза.
Контрольные задания
1. АВ � 18 мм; ВС � 44 мм. Р � 2 � (АВ + ВС) � 2 � (18 + 44) � 2 � 62 � 124 (мм); SABCD � AB � BC � 18 � 44 � 792 (мм2). ×
18
44
72
72
7922. Фигуры являются равными, если при наложении их друга на друга
они совпадают.
§ 12. Формулы
206. а) S � a � b � 25 � 24 � 600 (см2); б) S � a � b � 48 � 125 � 6000 (см2);
×
+
25
24
100
50
600
×
+
125
48
1000
500
6000
в) S � a � b � 61 � 57 � 3477 (м2); г) S � a � b � 218 � 105 � 22 890 (м2);
×
+
57
61
57
342
3477
×
+
218
105
1090
218
22890
367��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
207. а) Р � 2 � (a + b) � 2 � (12 + 15) � 2 � 27 � 54 (м); б) P � 2 � (a + b) � 2 � (34 + 25) � 2 � 59 � 118 (м); в) P � 2 � (a + b) � 2 � (78 + 22) � 2 � 100 � 200 (см); г) P � 2 � (a + b) � 2 � (154 + 146) � 2 � 300 � 600 (см).208. s � v � t а) s � 15 � 4 � 60 (км); б) s � 70 � 2 � 140 (км); в) s � 90 � 3 � 270 (км); г) s � 26 � 7 � 182 (км).
209. а)
+2 540
380
2 702
5 622
ò êã
êã
ò êã
ò êã
б)
+13 90 5
14 00 15
5 30 00
33 20 20
ì ñì ìì
ì ñì ìì
ì ñì ìì
ì ñì ìì
в)
+7 17
65
12 53
12 35
ãà à
à
ãà à
ãà à
г)
+94 25
75 47
60
170 32
2
2
2
2
à ì
à ì
ì
à ì
210. 1) +
5460
5450
10910
— второе слагаемое;
2) +10910
4600
15510
— третье слагаемое;
3)
+15510
10910
5460
31880
— четвертое слагаемое;
4) ×
31880
2
63760
Ответ: сумма всех четырех слагаемых равна 63 760.211. I — 99; II — (999 – 99); III — 100; IV — ? 1) 999 – 99 � 900; 2) 900 + 100 + 99 � 1099; 3) 2645 – 1099 � 1546.
−2654
1099
1546 Ответ: четвертое слагаемое равно 1546.
Контрольные задания
1. Формула — это равенство, которое представляет собой запись правила вычисления значения какой-либо величины.
2. а) S � a � b; P � 2 � (a + b); б) s � v � t.3. P � a + b + c, где a, b, c — длины сторон треугольника.
368 ����������2002–2011 гг.
§ 13. Законы арифметических действий
211. а) 48 + 56 + 52 � 48 + 52 + 56 � 100 + 56 � 156; б) 34 + 17 + 83 � 34 + (17 + 83) � 34 + 100 � 134; в) 56 + 24 + 38 + 62 � (56 + 24) + (38 + 62) � 80 + 100 � 180; г) 88 + 19 + 21 + 12 � (88 + 12) + (19 + 21) � 100 + 40 � 140; д) 25 + 65 + 75 � 25 + 75 + 65 � 100 + 75 � 165; е) 35 + 17 + 65 + 33 � (35 + 65) + (17 + 33) � 100 + 50 � 150; ж) 27 + 123 + 16 + 234 � (27 + 123) + (16 + 234) � 150 + 250 � 400; е) 156 + 79 + 21 + 44 � (156 + 44) + (79 + 21) � 200 + 100 � 300.215. 1) S � 6 � 8 + 3 � 6 � 48 + 16 � 66; 2) S � 6 � (8 + 3) � 6 � 11 � 66.221. S � ab – ac или S � a � (b – c).
224. а) 560 � 188 – 880 � 56 � 560 � 188 – 88 � 560 � 560 � (188 – 88) � ��560 � 100 � 56 000;
б) 84 � 670 – 640 � 67 � 84 � 670 – 64 � 670 � 670 � (84 – 64) � 670 � 20 � ��13 400;
в) 490 � 730 – 73 � 900 � 490 � 730 – 730 � 90 � 730 � (490 – 90) � ��730 � 400 � 292 000;
г) 36 � 3400 – 360 � 140 � 360 � 340 – 360 � 140 � 360 � (340 – 149) � ��360 � 200 � 72 000.
226. а) 258 � (764 + 548) > 258 � (764 + 545); б) 751 � (339 + 564) < 751 � (340 + 564); в) 532 � (618 – 436) � 532 � (618 – 436); г) 496 � (862 – 715) > 496 � (860 – 715).
227. c 30 38 43 59 72
d 15 22 26 41 53
3(c – d) 45 48 51 54 57
3c – 3d 45 48 51 54 57
3 � (30 – 15) � 3 � 15 � 45; 3 � (38 – 22) � 3 � 16 � 48; 3 � (43 – 26) � 3 � 17 � 51; 3 � (59 – 41) � 3 � 18 � 54; 3 � (72 – 53) � 3 � 19 � 57; 3(c – d) � 3c – 3d.228. (16 + 2) � 32 � 16 � 32 + 2 � 32 � 16 � 32 + 64; значит, произведение 16 � 32 увеличится на 64; 16 � (32 – 3) � 16 � 32 – 16 � 3 � 16 � 32 – 48; значит, произведение 16 � 32 уменьшится на 48; (81 + 2) � 42 � 81 � 42 + 2 � 42 � 81 � 42 + 84; значит, произведение 81 � 42 увеличится на 84;
a S — ?
b
c
a S — ?
b
c
369��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
81 � (42 – 1) � 81 � 42 – 81 � 1 � 81 � 42 – 81; значит, произведение 81 � 42 уменьшится на 81.229. а) 1; 2; 3; 4; 5; 6; в) 2896; 2897; 2899; 2899; 2900; в) 129; 130; 131; г) 488; 489; 490; 491; 492.230. а) 40 + 15 + 17 � 72; в) 40 – 15 – 17 � 8; б) 40 – 15 + 17 � 42; г) 120 – 60 – 60 � 0.231. Белые носки — ? Голубые носки — ? на 20 пар >, чем }84
пары
Решение. 1) 84 – 20 � 64 (пары); 2) 64 : 2 � 32 (пары) — белых носков; 3) 32 + 20 � 52 (пары) — голубых носков. Ответ: 32 пары белых носков, 52 пары голубых.232. 1) 44 + 18 + 29 � 91 (кг); 2) 580 – 91 � 489 (кг); 3) 489 : 3 � 163 (кг); 4) 163 + 44 � 207 (кг) — гречка; 5) 163 + 18 � 181 (кг) — перловка; 6) 163 + 29 � 192 (кг) — рис. Ответ: в магазине имеется 207 кг гречки, 181 кг перловки, 192 кг
риса.
§ 14. Уравнение
233. а) х � 0; б) у � 0; в) х � 4; г) а � 0.234. а) у � 1; б) п � 1; в) m � 43; г) х � 1.236. а) S � a � b � 7 � 12 � 84 (см2); б) b � S : a � 48 : 12 � 4 (см); в) a � S : b � 144 : 12 � 12 (см); г) b � S : a � 120 : 8 � 15 (см); Р � 2 � (a + b) � 2 � (8 + 15) � 2 � 23 � 46 (см).237. а) 56 � 7 � t; t � 56 : 7; t � 8; б) 204 � v � 12; v � 204 : 12; v � 17;
−
−
204
12
12
17
84
84
0
в) S : 34 � 306; S � 306 � 34; S � 10 404; ×
+
306
34
1224
918
10404 г) 125 : t � 25; t � 125 : 25; t � 5.
370 ����������2002–2011 гг.
238. а) 4 � 12 : 2 � 24; в) 60 : 5 – 4 � 3 � 0; б) 25 � 4 – 18 � 2 � 64; г) 45 : 15 + 17 � 3 � 54.239. а) 60 – 675 : 45 � 45; в) 320 + 48 – 48 � 320; б) 98 – 65 – 33 � 0; г) 0 � 97 � 5 � 0.240. 1) 3 � 30 � 90 (б.); 2) 90 : 2 � 45 (б.) — одного сорта батоны; 3) 45 � 3 � 135 (б.). Ответ: в булочную было завезено 135 батонов.241. Картофель — ? в 5 раз >, чем Капуста — ? }204 à
Решение. Все поле разделено на 6 равных частей, 5 из них занимает карто-
фель, 1 — капуста. 1)
−
−
204
18
6
34
24
24
0
(а) — занято под капусту;
2) 34 � 5 � 170 (а) — занято картофелем. Ответ: 34 а занято капустой, 170 а — картофелем.
§ 15. Упрощение выражений
242. а) 23 � 15 + 15 � 77 � 15 � (23 + 77) � 15 � 100 � 1500; б) 67 � 58 + 33 � 58 � 58 � (67 + 33) � 58 � 100 � 5800; в) 340 � 7 + 16 � 70 � 34 � 70 + 16 � 70 � 70 � (34 + 16) � 70 � 50 � 3500; г) 250 � 61 – 25 � 390 � 260 � 61 – 250 � 39 � 250 � (61 – 39) � 250 � 22 �
��5500; д) 79 � 21 – 69 � 21 � 21 � (79 – 69) � 21 � 10 � 210; е) 55 � 682 – 45 � 682 � 682 � (55 – 45) � 682 � 10 � 6820; ж) 7300 � 3 + 730 � 70 � 730 � 30 + 730 � 70 � 730 � (30 + 70) � 730 � 100 �
��73 000; з) 500 � 38 – 50 � 80 � 50 � 380 – 50 � 80 � 50 � (380 – 80) � 50 � 300 �
��15 000.244. а) 17m + 5m � m � (17 + 5) � 22m; б) 24b + 7a – 5a � 24b – (7 – 5) � a � 24b – 2a; в) 6a – a � 6 � a – 1 � a � (6 – 1) � a � 5a; г) y – 8 невозможно упростить; д) 9с + 4с – 6с � (9 + 4 – 6) � с � 7с; е) 5 + 12n – 2n � 5 + (12 – 2) � n � 5 + 10n.245. 1) Сочетательный закон умножения; 2) переместительный и сочетательный законы умножения.246. а) 15a � 4 � 15 � 4 � a � 60a; б) 3b � 12 � 3 � 12 � b � 36b; в) 17a � 5b � 17 � 5 � a � b � 85ab; г) 11a � 7b � 11 � 7 � a � b � 77ab;
371��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
д) c � 18 � d � 3 � 18 � 3 � c � d � 54cd; е) x � 9 � 4 � y � 9 � 4 � c � y � 36xy.247. а) 5x + 8x � (5 + 8) � x � 13x; при x � 13 13x � 13 � 13 � 169; б) 12y – 6y � (12 – 6) � y � 6y; при y � 6 6y � 6 � 6 � 36; в) 9a + 7a � (9 + 7) � a � 16a; при a � 16 16a � 16 � 16 � 256; г) 18b – 7b � (18 – 7) � b � 11b; при b � 11 11b � 11 � 11 � 121.248. а) 39x – 5x – 4x + 28 � (39 – 5 – 4) � x + 28 � 30x + 28; при x � 3 30x + 28 � 30 � 3 + 28 � 90 + 28 � 118; при x � 5 30x + 28 � 30 � 5 + 28 � 150 + 28 � 178; б) 28y – 18y + 6y � (28 – 18 + 6) � y � 16y; при y � 1 16y � 16 � 1 � 16; при y � 2 16y � 16 � 2 � 32; в) 12 + 15a + 24a + 5a � 12 + (15 + 24 + 5) � a � 12 + 44a; при a � 0 12 + 44a � 12 + 44 � 0 � 12 + 0 � 12; при a � 3 12 + 44a � 12 + 44 � 3 � 12 + 132 � 144; г) 26 + 14b – 4b � 26 + (14 – 4) � b � 26 + 10b; при b � 4 26 + 10b � 26 + 10 � 4 � 26 + 40 � 66; при b � 10 26 + 10b � 26 + 10 � 10 � 26 + 100 � 126.249. а) 15x – 8x � 21; б) 2x + 4x � 30; (15 – 8)x � 21; (2 + 4)x � 30; 7x � 21; 6x � 30; x � 21 : 7; x � 30 : 6; x � 3; x � 5; в) 4y + 2y – y � 20; г) 7y + y – 2y � 24; (4 + 2 – 1)y � 20; (7 + 1 – 2)y � 24; 5y � 20; 6y � 24; y � 20 : 5; y � 24 : 6; y � 4; y � 4; д) 3x – x � 12; е) x + 8x � 72; (3 – 1)x � 12; (1 + 8)x � 72; 2x � 12; 9x � 72; x � 12 : 2; x � 72 : 9; x � 6; x � 8. ж) 9x + x – 9x � 5; з) 4x + 3x – 7x � 6; (9 + 1 – 9)x � 5; (4 + 3 – 7)x � 6; x � 5; 0 � 6 � 6 — ложное; х � 5; не имеет решения.251. а) 5a + 10b � 5 � a + 5 � 2 � b � 5 � (a + 2b); б) 8x – 16y � 8 � x + 8 � 2 � y � 8 � (x + 2y); в) 27p + 9q � 9 � 3 � p + 9 � q � 9 � (3p + q); г) 26m – 15n; здесь нельзя вынести общий множитель за скобки.252. а) 22l – 33f + 44 � 11 � 2 � l – 11 � 3 � f � 11 � 4 � 11 � (2l – 3f + 4); б) 7c + 21d + 7 � 7 � c + 7 � 3 � d + 7 � 1 � 7 � (c + 3d + 1); в) 12m + 24n + 18 � 6 � 2 � m + 6 � 4 � n + 6 � 3 � 6 � (2m + 4n + 3); г) 45m + 15n – 30 � 15 � 3 � m + 15 � n – 15 � 2 � 15 � (3m + n – 2).253. 1) 24 : 2 � 12 (км/ч) — скорость катера по течению реки; 2) 24 : 3 � 8 (км/ч) — скорость катера; 3) 12 – 8 � 4 (км/ч) — скорость течения реки. Ответ: скорость течения реки равна 4 км/ч.
372 ����������2002–2011 гг.
254. vпо течению � vтеплохода + vреки; vпротив течения � vтеплохода – vреки; тогда vтеплохода � vпротив течения + vреки; vпо течению � vпротив течения + vреки + vреки � vпротив течения + 2 � vреки. 1) 119 : 7 � 17 (км/ч) — скорость теплохода против течения реки; 2) 17 + 2 � 1 � 19 (км/ч) — скорость теплохода по течению реки; 3) 19 � 7 � 133 (км) — путь по течению реки. Ответ: по течению реки теплоход пройдет 133 км.255. 1) 5 � 2 � 10 (кг); 2) 1 + 1 + 1 � 3 (кг); 3) 10 – 3 � 7 (кг). Ответ: масса тыквы равна 7 кг.256. а) 1) 16 – 14 � 2 (км/ч); 2) 2 : 2 � 1 (км/ч). Ответ: скорость течения реки равна 1 км/ч. б) Скорость моторной лодки по течению реки 15 км/ч, а против
течения — скорость 14 км/ч; тогда скорость течения реки будет равна 500 м/ч.
257. 1) 720 : 36 � 20 (км/ч) — скорость теплохода по течению; 2) 720 : 45 � 16 (км/ч) — скорость теплохода против течения; 3) (20 – 16) : 2 � 2 (км/ч) — скорость течения; 4) 16 + 2 � 18 (км/ч) — скорость теплохода. Ответ: собственная скорость теплохода равна 18 км/ч.258. а) 36 + 15 � 3 – 1 � 80; в) 10 � 6 + 10 � 9 � 150; в) 36 : 0 � 20 � 80; г) 8 � 0 � 25 � 0.259. а) 523 � (747 + 956) � 523 � (762 + 958); б) 359 � (764 – 547) � 359 � (766 – 549); в) 756 � (459 – 327) � 756 � (449 – 317); г) 312 � (245 + 768) � 312 � (235 + 778).
Контрольные задания
1. а) 4m + 5m + 8 � (4 + 5) � m + 8 � 9m + 8; б) 3 � 7x � 21x.2. 13y – 7y + 2 � (13 – 7) � y + 2 � 6y + 2; при y � 4 6y + 2 � 6 � 4 + 2 � 24 + 2 � 26.3. 6x + 3x � 27; (6 + 3) � x � 27; 9x � 27; x � 27 : 9; x � 3.
§ 16. Математический язык
264. а) а + 30; б) 5а; в) 3 � (а + 30); г) 5а + 3 � (а + 30).265. а) х – 7; б) 2х; в) 6(х – 7); г) 2х + 6(х – 7).266. а) 5a + 3(a + 30) � 250; б) 3(a + 30) – 5a � 50; в) 7a > 300; г) 7(a + 30) > 300.
373��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
267. а) 2x + 6(x – 7) � 54; б) 6(x – 7) – 2x � 6; в) 2x > 20; г) 6(x – 7) < 40.268. а) 3(n + 5n) � 360; 3 � 6n � 360; 18n � 360; б) 6 � 5n – 3n � 540; 30n – 3n � 540; (30 – 3)n � 540; 27n � 540; в) 3 � 5n < 350; 15n < 350; г) 3n > 50.269. а) 2v + 4(v : 3) � 260; б) 2v � 60 + 4(v : 3) или 2v – 4(v : 3) � 60 или 2v – 60 � 4(v : 3); в) 2v > 120; г) 4(v : 3) < 150.270. а) 240 : 8 – 30 : 2 + 561 : 17 + 66 : 11 � 54; 1) 240 : 8 � 30; 2) 30 : 2 � 15; 3)
−
−
561
55
17
33
51
51
0
4) 66 : 11 � 6;
5) 30 – 15 � 15; 6) 15 + 33 � 48; 7) 48 + 6 � 54; б) 47 027 � 24 + 31 352 – 2408 � 356 � 302 752; 1) ×
+
47027
24
188108
94054
1128648
2) +
1128648
31352
1160000
3) ×
+
2408
356
14448
12040
7224
857248
4) −1160000
857248
302752
в) (240 : 8 – 30) : 2 + (561 : 17 + 66) : 11 � 9; 1) 240 : 8 � 30; 2) 30 – 30 � 0; 3) 0 : 2 � 0; 4) 561 : 17 � 33; 5) 33 + 66 � 99; 6) 99 : 11 � 9; 7) 0 + 9 � 9; г) 140 013 – 25 � 3571 – 119 � 309 � 13 967; 1)
×
+
3571
25
17855
7142
89275
2) ×
+
119
309
1071
357
36771
3) −140013
89275
50738
4) −
50738
36771
13967
374 ����������2002–2011 гг.
271. 1) −
48 3005 700
42 600
êã ãêã ãêã ã
— масса масла в одном бочонке;
2) ×
42 6004
170 400
êã ã
êã ã Ответ: в четырех бочонках содержится 170 кг 400 г масла.
272. Наибольший общий делитель чисел 48 и 36: 48 = 6 ��8 = 3 � 2 � 2 � 2 � 2, 36 = 4 � 9 = 2 � 2 � 3 ��3 НОД (48,36) = 12. 48 относится к 36 как 4 к 3. 60 : 4 = 15, 15 � 3 = 45. Ответ: 45 а
Контрольные задания
1. а) х – 3; б) х + х – 3 � 2х – 3; в) 2х – 3 � 28.2. а) Произведение числа 3 и суммы чисел х и у; б) произведение разности чисел х и у и числа 10; в) частное чисел 30 и х; г) частное чисел у и 12; д) сумма произведений чисел 2 и х и чисел 3 и у.
§ 17. Математическая модель
275. В стаде а овец и b коров, тогда: 1) a + b � 30 — всего в стаде 30 голов скота; 2) a � 3b — овец в 3 раза больше, чем коров; 3) a � b + 15 — овец на 15 больше, чем коров; 4) a – b � 17 — овец на 17 больше, чем коров; 5) a : 5 � b — коров в 5 раз меньше, чем овец. Турист а км прошел пешком и b км проплыл на плоту, тогда: 1) a + b � 30 — турист всего преодолел 30 км; 2) a � 3b — турист прошел пешком в 3 раза больше, чем проплыл на
плоту; 3) a � b + 15 — турист прошел пешком на 15 км больше, чем
проплыл на плоту; 4) a – b � 17 — турист прошел пешком на 17 км больше, чем
проплыл на плоту; 5) a : 5 � b — турист проплыл на плоту путь в 5 раз меньший, чем
прошел пешком. За конфеты заплатили а рублей, а за печенье — b рублей, тогда: 1) a + b � 30 — всего за покупку заплатили 30 рублей; 2) a � 3b — конфеты стоят в 3 раза больше, чем печенье; 3) a � b + 15 — конфеты дороже печенья на 15 рублей; 4) a – b � 17 — печенье дешевле конфет на 17 рублей; 5) a : 5 � b — печенье в 5 раз дешевле конфет. В классе а девочек и b мальчиков, тогда 1) a + b � 30 — всего в классе 30 учеников; 2) a � 3b — девочек в 3 раза больше, чем мальчиков в классе;
375��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
3) a � b + 15 — девочек в классе на 15 больше, чем мальчиков; 4) a – b � 17 — мальчиков в классе на 17 меньше, чем девочек; 5) a : 5 � b — мальчиков в классе в 5 раз меньше, чем девочек.276. а) Ручка стоит 94 рубля, а карандаш — 17 рублей. Тогда стоимость
2 ручек и 1 карандаша равна 2 � 9 + 17; б) Расстояние 18 км велосипедист преодолевает за 6 часов, а пеше-
ход за 9 часов. Через какое время они смогут встретиться, если выйдут навстречу друг другу из пунктов, расстояние между кото-рым 25 км?
277. а) (42 � 124 + 2430) : 38 � 202 – (3008 : 94 + 527 � 8) : 72 � 40 543;
1) ×
+
124
42
248
496
5208
2) +
5208
2430
7638
3) −
−
7638
76
38
201
3
38
38
0
4) ×
+
201
202
402
402
40602
5) −
−
3008
282
94
32
188
188
0
6) ×527
8
4216
7) +
4216
32
4248
8) −
−
4248
360
72
59
648
648
0
9) −
40602
59
40543
б) (64 � 125 + 128 � 75) : 800 � 5000 – (300 � 400 + 5107 � 800) : 70 � ��49 920;
1) ×
+
125
64
500
750
8000
2) ×
+
128
75
640
896
9600
3) +9600
8000
17600
4) −
−
17600
16
800
22
16
16
0
5) ×
22
5000
110000
6) 300 � 400 � 120 000;
376 ����������2002–2011 гг.
7) ×
5107
800
4085600
8) +
4085600
120000
4205600
9) −
−
4205600
42
70
60080
5
56
56
0 10) −
110000
60080
49920
278. а) 1) 8 � 4 � 32 (раза) — во столько раз увеличится запас корма; 2) 32 � 14 � 448 (дней). Ответ: на 448 дней хватит корма другому заводчику. б) 1) 22 � 8 � 176 (лука) — на столько больше посадили бы лука; 2) 1024 – 176 � 848 (лука) — высажено на 8 грядках; 3) 848 : 8 � 106 (лук.). Ответ: на каждую грядку посадили 106 луковок.
Контрольные задания
1) В столовой стульев в 4 раза больше, чем столов;2) в столовой стульев на 30 больше, чем столов.
ГЛАВА II. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
§ 18. Деление с остатком
282. 29 : 6 � 4 (5 ост.). Проверка: 6 � 4 + 5 � 29. Ответ: Аня живет на 5 этаже.283. а) a : b � 5 (3 ост.); а — делимое, b — делитель; 5 — неполное частное; 3 — остаток. Проверка: a � b � 5 + 3. б) a : b � n (3 ост.); а — делимое; b — делитель; п — неполное частное; 3 — остаток. Проверка: a � b � n + 3. в) a : b � n (r ост.); a — делимое; b — делитель; n — неполное частное; r — остаток. Проверка: a – b � n + r.
377��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
284. 1) −75
72
9
8
3
75 : 9 � 8 (3 ост.), 75 � 9 � 8 + 3;
2) −
48
34
17
2
14
48 : 17 � 2 (14 ост.), 48 � 17 � 2 + 14;
3) 412 : 400 � 1 (12 ост.), 412 � 400 � 1 + 12;
4) −
370
370
185
2
0
370 : 185 � 2 (0 ост.), 370 � 185 � 2 + 0.
285. а) 9 — делитель, 4 — неполное частное; б) 3 — делитель; 7 — неполное частное; в) 8 — делитель; 5 — неполное частное; г) 9 — делитель; 3 — неполное частное.286. а) 8 � 7 + 3 � 59; б) 12 � 7 + 2 � 86.287. 1) 51 : 4 � 12 (3 ост.); 2) 12 : 5 � 2 (2 ост.). Ответ: Инна живет в 3 подъезде на 3 этаже.288. 1) 229 : 3 � 76 (1 ост.); 2) 76 : 12 � 6 (4 ост.). Ответ: Женя живет в 7 подъезде на 5 этаже.289. 1) 272 – 205 + 1 � 68 (кв.) — в этом подъезде; 2) 68 : 17 � 4 (кв.) — на одном этаже; 3) 219 – 205 + 1 � 15 (кв.) — находится между квартирами № 205
и № 219; 4) 15 : 4 � 3 (3 ост.). Ответ: Надя живет на 4 этаже.290. а) 26; 16; 36; 46; 56; 66; 76; 86; 96. Всего 9 таких чисел. б) 106; 116; 126; и т.д. Всего 30 таких чисел.291. При делении на 7 могут получиться остатки 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. При делении на 9 могут получиться остатки 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. При делении на 19 — 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15;
16; 17; 18. Не существует числа, которое при делении на 10 дает в остатке 12,
так как 12 больше 10.292. 1) 1; 2) а � 2п — четные, так как при делении на 2 остаток 0; b � 2n + 1 — нечетное, так как при делении на 2 остаток 1.293. 1) (13 + 25) : 10 � 38 : 10 � 3 (8 ост.); 2) 233; 105; (33 + 105) : 10 � 138 : 10 � 13 (8 ост.); 3) 43; 21 235; (21 235 + 43) : 10 � 21 278 : 10 � 2127 (8 ост.); 4) остаток всегда равен 8 — сумме остатков от деления на 10 указан-
ных чисел;
378 ����������2002–2011 гг.
5) 123; 2459; остаток от деления на 10 суммы этих чисел равен: 3 + 9 � 12, то есть 2, действительно: (123 + 2459) : 10 � 2582 : 10 �
��258 (2 ост.); 6) а) (11 + 16) : 10 � 27 : 10 � 2 (7 ост.); б) 5 + 7 � 12, то есть остаток 2, действительно: (25 + 117) : 10 �
��142 : 10 � 14 (2 ост.); 6 + 4 � 10, значит, остаток 0, действительно: (216 + 5414) : 10 �
��5630 : 10 � 563 (0 ост.).294. 9 – 3 � 6 — остаток, действительно: (359 – 243) : 10 � 116 : 10 � 11 (6 ост.).195. 99; 111; 3п, где п — натуральное число.296. 73; 97; 163; 253; 3п + 1, где п — натуральное число.297. 1) 35 : 14 � 2 (7 ост.); 2) 7 — половина 14, значит 7 км велосипедист проедет за 30 мин. Ответ: велосипедист преодолеет 35 км за 2 ч 30 мин.298. 1) 56 : 16 � 3 (8 ост.); 2) 8 — половина 16, значит, за 8 р. можно купить 500 г сахара. Ответ: можно купить 3 кг 500 г.299. 10 10 : 3 � 3 (1 ост.), третья часть 60 мин — 20 мин; 20 11 : 3 � 3 (2 ост.), две третьи части 60 мин — 40 мин. Ответ: 10 м улитка преодолеет за 3 ч 20 мин, а 11 м — за 3 ч 40 мин.
Контрольные задания
1. Делимое, делитель, неполное частное, остаток.2.
−
−
287
24
24
11
47
24
23
287 : 24 � 11 (23 ост.);
11 — неполное частное, 23 — остаток.3. 29 — делимое, 8 — делитель, 3 — неполное частное, 5 — остаток.
§ 19. Обыкновенные дроби
303. а) 3 43
4: =
— числитель (три четверти);
— знаменатель
б) 1 71
7: =
— числитель (одна седьмая);
— знаменатель
в) 15 3115
31: =
— числитель (пятнадцать тридцать первых);
— знаменатель
379��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
г) 17 8317
83: =
— числитель (семнадцать восемьдесят третьих).
— знаменатель
305. а) 1
3691 369= : ;
85
36985 369= : ;
б) 1
4531 453= : ;
158
453158 453= : ;
в) 1
14781 1478= : ;
1067
14781067 1478= : ;
г) 1
7811 781= : ;
45
78145 781= : .
306. а) 1
5
1
7> ; б)
7
10
2
10> ; в)
5
8
5
6< ; г)
3
14
1
14> .
307. а) 8
52ì ; б)
10
14ì; в)
6
11÷; г)
2
3êì.
308. 1) 1
2ì;
2
4ì.
309. — длина отрезка АВ в 2 раза меньше длины отрезка CD; — каждый отрезок разделен на 6 равных частей;
— для отрезка АВ — 2
6ì; для отрезка CD —
2
6ì;
— смотри пункт 4;
— для отрезка АВ: длину отрезка АВ 1 м разделили на 6 равных час-
тей и взяли 2 из них, получили 2
6ì;
для отрезка CD: длину отрезка CD 2 м разделили на 6 равных час-
тей и взяли 1 из них, получили 2
6ì.
310. 1) 4
5 кг; 4000 : 5 � 800 (г);
2) 4
5 кг; 1000 : 5 � 200 (г); 200 � 4 � 800 (г);
3) 4
5 кг �
4
5 кг; 800 г � 800 г; в первом случае 4 кг разделили на 5 %
во втором — 1 кг раздели на 5 равных частей и взяли 4 таких части;
4) 1 способ: число 5 разделить на число 6; 2 способ: единицу разделить на 6 равных частей и взять 5 таких
частей. Аналогичным образом можно получить двумя способами дроби
3
14,
17
24,
7
6.
380 ����������2002–2011 гг.
311. а) Девочке досталась 1
6 часть торта; а мальчикам —
3
6 торта;
б) площадь под луком равна 2
10a; под свеклой —
3
10a;
под морковью — 4
10a; под чесноком —
1
10a.
312. а) 1
6; б)
2
6; в)
3
6; г)
3
6.
313. а) 2
6 или
1
3; б)
4
6 или
2
3; в)
3
6 или
1
2; г)
6
6 или 1.
314. а) Закрашена 5
8 части фигуры, не закрашена
3
8части;
б) 4
5;
1
5; в)
2
6;
4
6; г)
2
4;
2
4.
315. Предложим два способа из всех возможных. а) б)
в) г)
316.
317. Удобно выбрать единичный отрезок равный 12 клеткам.
318. 420 : 70 � 6 (ч). Ответ: в первый день была продана
1
6 часть капусты.
381��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
Контрольные задания
1. 7 87
8: ;= 7 — делимое, числитель; 8 — делитель, знаменатель.
2. 5
125 12= : ; 5 — делимое, числитель; 12 — делитель, знаменатель.
4. а) 2
9
5
9< ; б)
7
18
7
11< .
§ 20. Отыскание части от целого и целого по его части
320. 1) 36 : 9 � 4 (уч.). Ответ: в олимпиаде по математике приняли участие 4 ученика. 4 � 9 � 36 (уч.). Ответ: в пятом классе всего 36 учащихся. 2) — количество учащихся в классе; — в первой задаче эта величина известна, а во второй — нет; — в первой задаче требуется найти часть от целого, а во второй —
целое по его части; — да, в этих задачах то, что известно и что требуется найти поме-
няли местами.321. 21 : 3 � 7; 30 : 6 � 5; 42 : 7 � 6; 50 : 10 � 5.322. а) 7 � 2 � 14; б) 5 � 4 � 20; в) 2 � 5 � 10; г) 15 � 9 � 135.323. а) Нужно найти часть от целого; 900 : 15 � 60 (м2). б) Нужно найти целое по его части; 60 � 15 � 900 (м2). Ответ: площадь участка 900 м2.325. а) 1) 35 : 5 � 7; б) 1) 24 : 4 � 6; 2) 7 � 2 � 14; 2) 3 � 6 � 18; в) 1) 72 : 9 � 8; г) 1) 51 : 3 � 17; 2) 5 � 8 � 40; 2) 2 � 17 � 34.326. а) 1) 16 : 2 � 8; б) 1) 45 : 3 � 15; 2) 3 � 8 � 24; 2) 15 � 5 � 75; в) 1) 36 : 3 � 12; г) 1) 60 : 5 � 12; 2) 7 � 12 � 84; 2) 12 � 8 � 96.327. 1) 720 : 8 � 90 (кг); 2) 90 � 5 � 450 (кг). Ответ: за день было продано 450 кг картофеля.328. 1) 34 : 2 � 17 (км); 2) 17 � 5 � 85 (км). Ответ: длина маршрута равна 85 км.329. 1) 30 : 5 � 6 (чел.); 2) 3 � 6 � 18 (дев.). Ответ: в классе 18 девочек.
382 ����������2002–2011 гг.
330. 1) 15 : 3 � 5 (га); 2) 5 � 10 � 50 (га). Ответ: общая площадь пахотной земли хозяйства равна 50 га.331. 1) 30 : 6 � 5 (авт.); 2) 5 � 5 � 25 (авт.); 3) 30 – 25 � 5 (авт.). Ответ: в автосалоне было 25 легковых автомобилей и 5 грузовых.332. 1) 25 : 5 � 5 (м); 2) 5 � 2 � 10 (м); 3) 10 : 2 � 5 (м). Ответ: ширина зала равна 10 м, а его высота — 5 м.333. 1) 270 : 2 � 135 (кн.); 2) 135 � 9 � 1215 (кн.). Ответ: всего в библиотеке 1215 книг.334. 1) 16 : 8 � 2 (кл.); 2) 2 � 45 � 90 (кл.); 3) 2 � 37 � 74 (кл.); 4) 90 + 74 � 164 (кл.). Ответ: в коллекции Антона 164 клипа.335. 1) 8 – 5 � 3 (части) — осталось пройти;
2) 120 : 3 � 40 (км) — приходится на 1
8 часть всего маршрута;
3) 40 � 8 � 320 (км) — весь маршрут. Ответ: длина туристического маршрута равна 320 км.336. 1) 15 – 7 � 8 (част.) — занято картофелем;
2) 96 : 8 � 12 (а) — приходится на 1
15 часть площади огорода;
3) 12 � 15 � 180 (а) — площадь огорода. Ответ: площадь огорода равна 180 а.
337. а)
3
8
1
8 часть фигуры составляют 2 клетки;
б) 3
4
1
4 часть фигуры составляют 4 клетки;
в)
3
5
383��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
1
5 часть фигуры составляют 4 клетки.
4)
3
4
1
4 часть фигуры составляют 4 клетки и 1 половинка клетки.
338. а)
б) (48 + 34) � (25 + 31) + (39 – 25) : (18 – 11) � 4594; 1) 48 + 34 � 82; 2) 25 + 31 � 56; 3) ×
+
82
56
492
410
4592
4) 39 – 25 � 14; 5) 18 – 11 � 7; 6) 14 : 7 � 2; 7) 4592 + 2 � 4594.
339. I
II
III
⎯⎯⎯
9999
100 99 12 645( )
?
−⎫⎬⎪
⎭⎪
Решение. 1) 100 – 99 � 1; 2) 9999 + 1 � 10 000; 3) −
12645
10000
2645
Ответ: третье слагаемое равно 2645.340. 1) 540 – 80 � 460 (пар); 2)
+12650
460
13110
(пар). Ответ: за следующую неделю фабрика выпустит 13 110 пар обуви.
384 ����������2002–2011 гг.
Контрольные задания
1. а) 60 : 5 � 12; б) 1) 48 : 8 � 6; 2) 6 � 7 � 42.2. а) 16 � 4 � 64; б) 1) 60 : 3 � 20; 2) 20 � 8 � 160.3. 1) 54 : 2 � 27 (км); 2) 27 � 3 � 81 (км). Ответ: автомобиль должен был проехать 81 км.4. 1) 155 : 5 � 31 (мин); 2) 31 � 2 � 62 (мин). Ответ: чтобы выполнить домашнее задание по математике Лене
понадобилось 62 мин.
§ 21. Основное свойство дроби
341. а) Желтым закрашена 1
2 часть фигуры èëè
3
6
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟, а оранжевым —
1
2 часть фигуры èëè
3
6
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟;
б) желтым закрашено 2
6 части фигуры èëè
1
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟, оранжевым —
2
6
èëè1
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟, зеленым —
2
6 èëè
1
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟;
в) оранжевым закрашено 2
6 части фигуры èëè
1
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟, а зеленым —
4
6 èëè
2
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟;
г) оранжевым цветом закрашена вся фигура — 1 èëè6
6
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟.
342. а) Закрашено 3
9 части фигуры èëè
1
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟, не закрашено —
6
9
èëè2
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟;
б) закрашено 6
18 части фигуры èëè
1
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟, не закрашено —
12
18
èëè2
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟;
в) закрашено — 6
9 èëè
2
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟, не закрашено —
3
9 èëè
1
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟;
г) закрашено — 9
18 èëè
1
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟, не закрашено —
9
18 èëè
1
2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟.
385��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
343.
Если числитель и знаменатель дроби равны, то эта дробь равна 1.
344.
1
3 от 12 см;
2
3 от 12 см;
1
6 от 12 см;
4
6 от 12 см;
1
12 от 12 см;
8
12 от 12 см;
16
24 от 12 см.
2
3
4
6= ;
8
12
16
24= ; также
2
3
4
6
8
12
16
24= = = .
345. 3
4 от 8 см;
6
8 от 8 см;
12
16 от 8 см;
24
32 от 8 см.
24
32
3
4= ;
24
32
6
8= ;
24
32
12
16= ; также
3
4
6
8
12
16
24
32= = = .
346. 3
12
3 3
12 3
1
4= =
:
:;
15
25
15 5
25 5
3
5= =
:
:;
8
16
8 8
16 8
1
2= =
:
:;
9
15
9 3
15 3
3
5= =
:
:.
347. а) 4
10
4 2
10 2
2
5= =
:
:; б)
2
6
2 2
6 2
1
3= =
:
:;
в) 9
15
9 3
15 3
3
5= =
:
:; г)
12
16
12 4
16 4
3
4= =
:
:.
386 ����������2002–2011 гг.
348. а) 8
12
8 4
12 4
2
3= =
:
:; б)
15
30
15 15
30 15
1
2= =
:
:;
в) 14
21
14 7
21 7
2
3= =
:
:; г)
30
35
30 5
35 5
6
7= =
:
:.
349. 6
14
6 2
14 2
3
7= =
:
:;
9
21
9 3
21 3
3
7= =
:
:;
12
28
12 4
28 4
3
7= =
:
:.
350. 6
15
6 3
15 3
2
5= =
:
:;
4
10
4 2
10 2
2
5= =
:
:;
10
25
10 5
25 5
2
5= =
:
:;
18
45
18 9
45 9
2
5= =
:
:.
351. а) 12
18
12 6
18 6
2
3= =
:
:; б)
8
24
8 8
24 8
1
3= =
:
:;
в) 30
45
30 15
45 15
2
3= =
:
:; г)
5
15
5 5
15 5
1
3= =
:
:.
352. а) 6
14
6 2
14 2
3
7= =
:
:; б)
16
28
16 4
28 4
6
7= =
:
:;
в) 25
35
25 5
35 5
5
7= =
:
:; г)
42
49
42 7
49 7
6
7= =
:
:.
353. 15
25
15 5
25 5
3
5= =
:
:;
2
10
2 2
10 2
1
5= =
:
:;
21
35
21 7
35 7
3
5= =
:
:.
354. 4
16
4 4
16 4
1
4= =
:
:;
24
32
24 8
32 8
3
4= =
:
:;
33
44
33 11
44 11
3
4= =
:
:.
355. 1
3
1 4
3 4
4
12=
⋅⋅
= ; 2
3
2 4
3 4
8
12=
⋅⋅
= ; 3
4
3 3
4 3
9
12=
⋅⋅
= ; 1
6
1 2
6 2
2
12=
⋅⋅
= .
356. а) 1
3
1 8
3 8
8
24=
⋅⋅
= ; б) 7
6
7 4
6 4
28
24=
⋅⋅
= ;
в) 15
12
15 2
12 2
30
24=
⋅⋅
= ; г) 3
8
3 3
8 3
9
24=
⋅⋅
= .
357. а) 2
5
2 6
5 6
12
30=
⋅⋅
= ; б) 1
6
1 5
6 5
5
30=
⋅⋅
= ;
в) 3
10
3 3
10 3
9
30=
⋅⋅
= ; г) 7
15
7 2
15 2
14
30=
⋅⋅
= .
358. а) 2
3
2 2
3 2
4
6=
⋅⋅
= ; 4
6
5
6< , значит,
2
3
5
6< ;
б) 2
3
2 4
4 2
8
12=
⋅⋅
= ; 8
12
4
12> , значит,
2
3
4
12> ;
в) 3
4
3 2
4 2
6
8=
⋅⋅
= ; 6
8
5
8> , значит,
3
4
5
8> ;
г) 3
4
3 8
4 8
24
32=
⋅⋅
= ; 24
32
24
32= , значит,
3
4
24
32= .
387��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
359. а) 4
5
4 2
5 2
8
10=
⋅⋅
= ; 8
10
7
10> , значит,
4
5
7
10> ;
б) 5
8
5 4
8 4
20
32=
⋅⋅
= ; 20
32
27
32< , значит,
5
8
27
32< ;
в) 3
10
3 3
10 3
9
30=
⋅⋅
= ; 7
30
9
30< , значит,
7
30
3
10< ;
г) 2
7
2 4
7 4
8
28=
⋅⋅
= ; 5
28
8
28< , значит,
5
28
2
7< .
360. а) 9
12
3
4= ; б)
6
14
3
7= ; в)
6
21
2
7= ; г)
8
10
4
5= .
361. 1 способ: 1) 10 : 5 � 3 � 6 (ш.) — забила команда России; 2) 10 : 10 � 4 � 4 (ш.) — забила команда Канады. Ответ: победителем матча стала команда России со счетом 6 : 4. 2 способ:
1) 3
5
3 2
5 2
6
10=
⋅⋅
= — забила команда России;
2) 6
10
4
10> .
Ответ: тот же.
362. 1) 3
7
3 2
7 2
6
14=
⋅⋅
= (часть) — составляет мощность «Явы» от мощности
«Харлей Дэвидсона»;
2) 6
14
11
14< .
Ответ: бîльшую мощность имеет мотоцикл «Хонда».
363. 1) 2
5
2 2
5 2
4
10=
⋅⋅
= ; 2) 4
10
7
10< .
Ответ: ближе к Солнцу расположен Меркурий, значит, ближе к Земле расположена Венера, так как она дальше, чем Меркурий от Солнца.
364. 1) 3
50
3 10
50 10
30
500=
⋅⋅
= ;
2) 11
100
11 5
100 5
55
500=
⋅⋅
= ;
3) 3
250
3 2
250 2
6
500=
⋅⋅
= .
Ответ: бîльшую массу имеет Марс.
388 ����������2002–2011 гг.
365 а)
5
9
б)
3
5
в)
2
5
г)
6
8
366. а) 12
16
3
4= ; б)
8
12
2
3= ; в)
12
20
3
5= ; г)
17
20.
367. а) 1
2
1
4> ; б)
1
100
1
10< ; в)
2
170
2
70< ; г)
15
28
15
78> .
368. а) 3
4
4
5< , так как
3
4 до 1 не хватает
1
4, а
4
5 —
1
5; но
1
5
1
4< ;
б) 5
6
4
5> , так как
1
6
1
5< ;
в) 7
8
8
9< , так как
1
9
1
8< ;
г) 9
10
8
9> , так как
1
10
1
9< .
369. а) 2
13
15
16< , так как
2
13
2 15
13 15
30
195=
⋅⋅
= , 15
16
15 2
16 2
30
32=
⋅⋅
= , 30
195
30
32< ;
б) 7
22
51
64< , так как
7
22
7 51
22 51
357
1122=
⋅⋅
= , 51
64
51 7
64 7
357
448=
⋅⋅
= ;
357
1122
357
448< ;
в) 51
100
54
100> , так как
51
100
51 18
100 18
918
1800=
⋅⋅
= ,
54
100
54 17
110 17
910
1870=
⋅⋅
= ; 918
1800
918
1870> ;
389��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
г) 3
4
62
125> , так как
3
4
3 62
4 62
186
248=
⋅⋅
= , 62
125
62 3
125 3
186
375=
⋅⋅
= ; 185
248
186
375> .
370. а) 11
10äì ì= ; 1 ñì =
1
100ì; 1
1
1000ìì ì= ;
б) 1010
100
1
10ñì ì ì= = ; 50
50
100
1
2ñì ì ì= = ;
1010
1000
1
10ìì ì ì= = ; 100
100
1000
1
10ìì ì ì= = ;
в) 51
2äì =
5
10ì ì= ; 25
25
100
1
4ñì ì ì= = ; 75
3
4ñì =
75
100ì ì= ;
8080
1000
8
100
2
25ìì ì ì ì= = = ;
г) 3030
100
3
10ñì ì ì= = ; 30
30
1000
3
100ìì ì ì= = ;
5555
100
11
20ñì ì ì= = ; 55
55
1000
11
200ìì ì ì= = .
371. 1
1001ì ñì= ;
1
10
100
1010ì
ñìñì= = ;
1ì =
100 ñì
4ñì
425= ;
1
5
100
520ì
ñìñì= = ;
1
2
100
250ì
ìñì= = .
372. 1
10
1
20> , значит, Наташины родители отдают меньшую часть своих
доходов за оплату жилья. Поэтому в семье Наташи доход больше.
373. 1
14
1
18> , значит, родители Юли отдают бîльшую часть своего
дохода в качестве оплаты за жилье, поэтому у семьи Юли жилищные условия лучше.
374. 1) 126 : 7 � 18 (км); 2) 18 � 3 � 54 (км). Ответ: в первый день туристы прошли 54 км.375. 1)
−
−
−
−
41516
4
4
10379
115
12
31
28
36
36
0
( .)ð
2) ×10379
9
93411 ( .)ð
Ответ: на ремонт квартиры было истрачено 93 411 р.
390 ����������2002–2011 гг.
Контрольные задания
2. а) 12
36
12 12
36 12
1
3= =
:
:; б)
9
15
9 3
15 3
3
5= =
:
:.
3. а) 3
8
3 3
8 3
9
24=
⋅⋅
= ; б) 5
6
5 4
6 4
20
24=
⋅⋅
= .
4. 1
10
1 3
10 3
3
30=
⋅⋅
= ; 1
15
1 2
15 2
2
30=
⋅⋅
= .
§ 22. Правильные и неправильные дроби.Смешанные числа
376. 2
5 — правильная дробь;
5
5 и
6
5 — неправильные дроби.
2
51< ;
5
51= ;
6
51> .
Вывод: любая правильная дробь меньше 1; любая неправильная дробь больше 1; если в неправильной дроби числитель и знамена-тель одинаковые, то дробь равна 1.
377. а) 3
7;
13
14;
19
20;
1
4;
3
16; эти дроби правильные так как их
числитель меньше знаменателя;
б) 8
3;
15
6;
17
3;
32
32;
28
28; эти дроби неправильные, так как
числитель каждой из них больше или равен знаменателю.
378. а) 7
n — неправильная при п � 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
б) 17
11
− n — неправильная при п � 1, 2, 3, 4, 5, 6.
379. а) m6
— правильная при m � 1, 2, 3, 4, 5;
б) 16
4 + m — правильная при m больше 12.
380. а) 33
1= ; б) 3
9
3= ; в) 3
24
8= ; в) 3
30
10= .
381. а) 55
1= ; б) 5
25
5= ; в) 5
35
7= ; г) 5
55
11= .
391��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
385. 3
4; 2
2
5; 6
3
10; 7
7
8; 8
7
15; 8
8
16.
386. а) 15
62
3
6= ; б)
8
61
2
6= ; в)
16
62
4
6= ; г)
23
63
5
6= .
387. а) 22
92
4
9= ; б)
19
44
3
4= ; в)
14
43
2
4= ; г)
18
44
2
4= .
388. а) 13
4
1 4 3
3
7
4=
⋅ += ; б) 2
3
5
2 5 3
5
13
5=
⋅ += ;
в) 31
3
3 3 1
3
10
3=
⋅ += ; г) 4
1
2
4 2 1
2
9
2=
⋅ += ;
д) 17
8
1 8 7
8
15
8=
⋅ += ; е) 3
4
11
3 11 4
11
37
11=
⋅ += .
389. а) 13
7
1 7 3
7
10
7=
⋅ += ; б) 2
4
9
2 9 4
9
22
9=
⋅ += ;
в) 52
3
5 3 2
3
17
3=
⋅ += ; г) 6
3
5
6 5 3
5
33
5=
⋅ += ;
д) 211
15
2 15 11
15
41
15=
⋅ += ; е) 7
3
8
7 8 3
8
59
8=
⋅ += .
390. 1)
13
121
1
12= ;
7
61
1
6= ;
5
41
1
4= ;
2) 6
51
1
5= ;
7
51
2
5= ;
12
52
2
5= ;
18
53
3
5= ;
24
54
4
5= .
392. 37
301
7
30= ;
37
103
7
10= ;
37
57
2
5= ;
−
37
30
30
1
7
−
37
30
10
3
7
−
37
35
5
7
2
393. а) 583
4512
43
45= ; б)
424
3113
21
31= ;
−
−
583
45
45
12
133
90
43
−
−
424
31
31
13
114
93
21
392 ����������2002–2011 гг.
в) 321
754
21
75= ; г)
719
838
55
83= ;
−
321
300
75
4
21
−
719
664
83
8
55
394. а) 435
646
51
64= ; б)
793
3820
33
38= ;
−
435
384
64
6
51
−793
76
38
20
33
в) 389
2714
11
27= ; г)
543
559
48
55= ;
−
−
389
27
27
14
119
108
11
−543
495
55
9
48
395. а) 499
2718
13
27= ;
172
632
46
63= ;
−
−
499
27
28
18
229
216
13
−172
126
63
2
46
345
2315= ;
1537
2346
133
234= ;
−
−
345
23
23
15
115
115
0
−1537
1404
234
6
133
246
63; 6
133
234; 15; 18
13
27.
Поэтому: 172
63;
1537
234;
345
23;
499
27.
393��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
б) 345
2315= ;
75
116
9
11= ;
267
1419
1
14= ;
−
−
345
23
23
15
115
115
0
−75
66
11
6
9
−
−
267
14
14
19
127
126
1
952
3562
240
356= ;
51
412
3
4= ;
−952
712
356
2
240
−
−
51
4
4
12
11
8
3
191
14; 15; 12
3
4; 6
9
11; 2
240
356.
Поэтому: 267
14;
345
23;
51
4;
75
11;
952
356.
396. а) 3
4
3 2
4 2
6
8=
⋅⋅
= ; 3
4
3 6
4 6
18
24=
⋅⋅
= ;
3
4
3 3
4 3
9
12=
⋅⋅
= ; 3
4
3 10
4 10
30
40=
⋅⋅
= ;
3
4
3 4
4 4
12
16=
⋅⋅
= ; 3
4
3 50
4 50
150
200=
⋅⋅
= ;
б) 15
17
15 3
75 3
5
25= =
:
:; да, эту дробь можно еще упростить:
5
25
5 5
25 5
1
5= =
:
:.
397. а) 7
15
7 3
15 3
21
45=
⋅⋅
= ; 21
45
22
45< ; значит,
7
15
22
45< ;
б) 17
27
17 2
27 2
34
54=
⋅⋅
= ; 31
54
34
54< ; значит,
31
54
17
27< ;
в) 5
18
5 2
18 2
10
36=
⋅⋅
= ; 10
36
11
36< ; значит,
5
18
11
36< ;
г) 3
4
3 4
4 4
12
16=
⋅⋅
= ; 12
16
9
16> ; значит,
3
4
9
16> .
394 ����������2002–2011 гг.
398. а) x18
2
3= ;
2
3
2 6
3 6
12
18=
⋅⋅
= ; значит, х � 12;
б) 15 3
4x= ; 15 : 3 � 5; 4 � 5 � 20; значит, х � 20;
в) 1337
=x
; х � 337;
г) 33
3x
= ; х � 33 : 3; х � 11.
399. а) 1
25
100
254ì
ñìñì= = ; б)
1
50
100
502ì
ñìñì= = ;
в) 1
4
100
425ì
ñìñì= = ; г)
1
5
100
520ì
ñìñì= = .
400. а) 77
60ìèí ÷= ; 15
15
60
1
4ìèí ÷ ÷= = ;
б) 4545
3600
9
720
1
80ñ ÷ ÷ ÷= = = ; 51
51
3600
17
1200ñ ÷ ÷= = ;
в) 8080
60
8
6
4
31
1
3ìèí ÷ ÷ ÷ ÷= = = = ; 120
120
602ìèí ÷ ÷= = ;
г) 50005000
3600
25
181
7
18ñ ÷ ÷ ÷= = = ; 6600
6600
3600
11
61
5
6ñ ÷ ÷ ÷= = = .
402. 1) 72 : 4 � 18 (эксп.); 2)
×
+
18
11
18
18
198 ( .)ýêñï
Ответ: в коллекции энтомолога 198 экспонатов.403. 1) 120 : 15 � 8 (задач); 2) 8 � 2 � 16 (задач). Ответ: за первые 10 дней Света решила 16 задач.404. 1) 5 – 2 � 3 (части); 2) 36 : 3 � 12 (км); 3) 12 � 5 � 60 (км). Ответ: длина маршрута равна 60 км.
Контрольные задания
2. 25
73
4
7= .
3. 32
5
3 5 2
5
17
5=
⋅ += .
395��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
4. 15
28 — правильная дробь;
4
3 — неправильная дробь;
15
281< ;
4
31> ; значит,
15
28
4
3< .
§ 23. Окружность и круг
405. Окружность изображена на рисунке слева, а круг — на рисунке справа.
Для построения окружностей используется циркуль. — Окружности принадлежат точки A, B, C; кругу — A, B, C, O, M; — окружности не принадлежат точки O, M, N; кругу — N; — дуги между точками А и В; А и С; В и С; — центры окружности и круга обозначены точкой О; — радиусами окружности и круга являются отрезки OA, OB, OC
(r — радиус); — OM; ON; OM < r; ON > r; — бесконечно много; — d — диаметр окружности, круга; у окружности и круга бесконеч-
но много диаметров; — все диаметры одной окружности (круга) равны между собой
и равны двум радиусам; — все радиусы одной окружности (круга) равны между собой и рав-
ны половине диаметра; — d � 2 � r; — r � d : 2.406. а) r � 2 см; d � 2 � r � 2 � 2 � 4 (см).
Рисунки в дальнейших заданиях выполняются аналогично заданию а). б) r � 4 см; d � 2 � r � 2 � 4 � 8 (см); в) r � 3 см; d � 2 � r � 2 � 3 � 6 (см); г) r � 3 см 5 мм; d � 2 � r � 2 � 3 см 5 мм � 7 (см).407. а) d � 4 см; r � d : 2 � 4 : 2 � 2 (см) (смотри рисунок к заданию
№ 406(а)); б) d � 6 см; r � d : 2 � 6 :2 � 3 (см); в) d � 9 см; r � d : 2 � 9 см : 2 � 4 см 5 мм; г) d � 10 см; r � d : 2 � 4 : 2 � 5 (см).
396 ����������2002–2011 гг.
408. а) Участок ограничивает круг радиуса 4 м.
Пострадает от козы заштрихованная красным цветом часть огорода. б)
По сравнению с предыдущей задачей площадь участка увеличит-ся более, чем еще на одну такую же площадь.
О1 О26 м
409. Точки С и F принадлежат окружности, так как OC � OF � OA � r; остальные точки — B, D, E окружности не принадлежат, так как OB < r, OD > r, OE > r.
410. Радиус большей окружности равен 3 � 2 � 6 (см), а ее диаметр: 6 � 2 � 12 (см).413. а) 14x – 9x � 125; б) 15y + 25y � 120; (14 – 9) � x � 125; (15 + 25) � y � 120; 5x � 125; 40y � 120; x � 125 : 5; y � 120 : 40; x � 25; y � 3; в) 13x + 5x � 108 : 2; г) 29y – 17y � 12 � 4; (13 + 5) � x � 54; (29 – 17) � y � 48; 18x � 54; 12y � 48; x � 54 : 18; y � 48 : 12; x � 3; y � 4.
397��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
414. а) 9 � (142 – 35) + (42 � 6 + 748) : 25 � 1003; 1) 142 – 35 � 107; 2)
×107
9
963
3) ×42
6
253
4) +252
748
1000
5) 1000 : 25 � 40; 6) 963 + 40 � 1003.
б) 1872 : (105 : 3 – 11) + 493 � 571; 1)
−
−
105
9
3
35
15
15
0
2) 35 – 11 � 24;
3) −
−
1872
168
24
78
192
192
0
4) +
493
78
571
415. а) Координату точки М-18 увеличили на 12, а затем уменьшили на 6, получили точку N. Найдите координату точки N.
б) Координату точки N-73 увеличили на 12, потом уменьшили на 21, получили точку М. Найдите координату точки М.
416.
(15 + 25) � 20 – 19 096 : 62 � 492; 1) 15 + 25 � 40; 2) 40 � 20 � 800; 3)
−
−
19096
186
62
308
49496
496
0
4) −800
308
492
398 ����������2002–2011 гг.
417. (s + 7) : (y + 3) > s : y.418. a) 1)
−1728
1242
486
(р.) — разница стоимости фляг;
2) −
−
486
45
9
54
36
36
0
(р.) — цена меда;
3) −
−
1728
162
54
32
108
108
0
(кг) — во второй фляге;
4) −
−
1242
108
54
23
162
162
0
(кг) — в первой фляге.
Ответ: в первой фляге 23 кг меда, а во второй — 32 кг. б) 1)
−2436
2184
252
(р.) — разница стоимости меда;
2) −
−
252
24
6
42
12
12
0
(кг) — масса меда в первой и во второй фляге;
3) −
−
2436
210
42
58
336
336
0
(р.) — цена меда во второй фляге;
4) 58 – 6 � 52 (р.) — цена меда в первой фляге. Ответ: в каждой фляге масса меда равна 42 кг, цена меда в первой
фляге — 52 р., а во второй — 58 р.
399��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
419. 9
18
1
2= ;
5
6;
2
3;
1
2
2
3
5
6< < ;
1
2
1 3
2 3
3
6=
⋅⋅
= ; 2
3
2 2
3 2
4
6=
⋅⋅
= .
Значит, 3
6
4
6
5
6< < .
б) 10
16;
4
8
4 2
8 2
8
16=
⋅⋅
= ; 3
4
3 4
4 4
12
16=
⋅⋅
= ; 8
16
10
16
12
16< < .
Значит, 8
4
10
16
3
4< < .
Контрольные задания
1. Круг содержит и часть плоскости, ограниченную окружностью.2. а) r � OA � 4 см; d � AB;
б) d � 2r � 2 � 4 � 8 (см).
§ 24. Сложение и вычитание обыкновенных дробей
420. 1) а) 1
6; б)
1
6; в)
2
6
1
3= ; г)
3
6
1
2= ;
2) а) 2
6
1
3= ; б)
3
6
1
2= ; в)
2
6
1
3= ; г)
2
6
1
3= ;
3) а) 3
6
1
2= ; б)
4
6
2
3= ; в)
4
6
2
3= ; г)
5
6;
4) а) 3
6
1
2= ; б)
2
6
1
3= ; в)
2
6
1
3= ; г)
1
6.
или
3) а) 1
6
2
6
3
6+ = ; б)
1
6
3
6
4
6+ = ;
А
В
Оr
А
В
Оr
400 ����������2002–2011 гг.
в) 2
6
2
6
4
6+ = ; г)
3
6
2
6
5
6+ = ;
4) а) 6
6
3
6
3
6− = ; б)
6
6
4
6
2
6− = ;
в) 6
6
4
6
2
6− = ; г)
6
6
5
6
1
6− = .
421. 1) а) 7
16; б)
3
12; в)
7
20; г)
5
18;
2) а) 5
16; б)
5
12; в)
7
20; г)
11
18;
3) а) 12
16; б)
8
12; в)
14
20; г)
16
18;
4) а) 4
16; б)
4
12; в)
6
20; г)
2
18.
или
3) а) 7
16
5
16
12
16+ = ; б)
3
12
5
12
8
12+ = ;
в) 7
20
7
20
14
20+ = ; г)
5
18
11
18
16
18+ = ;
4) а) 16
16
12
16
4
16− = ; б)
12
12
8
12
4
12− = ;
в) 20
20
14
20
6
20− = ; г)
18
18
16
18
2
18− = .
422. а) 3
8
5
8
3 5
8
8
81+ =
+= = ; в)
1
7
3
7
2
7
1 3 2
7
6
7+ + =
+ += ;
б) 7
15
2
15
7 2
15
5
15
1
3− =
−= = ; г)
3
11
8
11
4
11
3 8 4
11
7
11+ − =
+ −= .
423. а) 2
17
7
17
2 7
17
9
17+ =
+= ; в)
2
25
9
25
2 9
25
11
25+ =
+= ;
б) 7
16
5
16
7 5
16
2
16
1
8− =
−= = ; г)
12
13
3
13
12 3
13
9
13− =
−= .
424. а) 24
33
13
33
24 13
33
11
33
1
3− =
−= = ; в)
14
27
4
27
14 4
27
18
27
2
3+ =
+= = ;
б) 5
21
2
21
5 2
21
7
21
1
3+ =
+= = ; г)
16
35
12
35
16 12
35
28
35
4
5+ =
+= = .
425. а) 72
156
34
156
72 34
156
106
156
53
78+ =
+= = ;
б) 75
341
52
341
75 52
341
23
341− =
−= ;
401��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
в) 34
105
62
105
34 62
105
96
105
32
35+ =
+= = ;
г) 231
520
128
520
231 128
520
103
520− =
−= .
426. а) 12
5
5
5
2
5
3
5− = − = ; в) 1
4
7
7
7
4
7
3
7− = − = ;
б) 13
4
4
4
3
4
1
4− = − = ; г) 1
10
11
11
11
10
11
1
11− = − = .
427. а) 11
16
3
16
16 1 3
16
12
16
3
4− − =
− −= = ;
б) 12
25
8
25
25 2 8
25
15
25
3
5− − =
− −= = ;
в) 17
24
5
24
24 7 5
24
12
24
1
2− − =
− −= = ;
г) 117
30
11
30
30 17 11
30
2
30
1
15− − =
− −= = .
428. Примем весь путь за 1.
14
9
9
9
4
9
9 4
9
5
9− = − =
−= .
Ответ: во второй день турист прошел 5
9 пути.
429. Примем количество страниц в книге за 1.
13
7
7
7
3
7
7 3
7
4
7− = − =
−= .
Ответ: Денис прочитал во второй день 4
7 книги.
430. 1) 4
15
1
15
3
15− = — израсходовал Робинзон Крузо на втором году;
2) 4
15
3
15
7
15+ = — израсходовал Робинзон Крузо за два года вместе;
3) 17
15
15
15
7
15
8
15− = − = — осталось муки.
Ответ: Робинзон Крузо за два года израсходовал 7
15 запаса муки,
а осталось у него — 8
15 муки.
431. 1 полка — на 1
7 книг больше, чем ? часть всех книг
2 полка — ? часть всех книг
402 ����������2002–2011 гг.
Решение.
Так как знаменатель дроби 1
7 равен 7, то количество всех книг
разделили на 7 равных частей. Если на 1-ой полке на 1 такую часть
больше, то на ней 4
7 всех книг, а на 2-ой полке —
3
7 всех книг
îáùåå êíèã 1 =7
7÷èñëî ⎯⎛
⎝⎜⎞⎠⎟.
432. Примем объем книги за 1.
1) 11
9
9
9
1
9
8
9− = − = — сумма двух равных частей;
2) 8
92
4
9: = — объем книги, прочитанный за 2-ой день;
3) 4
9
1
9
5
9+ = .
Ответ: Денис в первый день прочитал 5
9 книги, а во 2-ой —
4
9 книги.
433. а) (506 � 123 + 29 376 : 72 – 61 830) : 4 � 204;
1) ×
+
123
506
738
615
62238
2) −
−
29376
288
72
408
576
576
0
3) +
62238
408
62646
4) −
62646
61830
816
5) −
−
816
8
4
204
16
16
0
б) (47 020 + 9687) : (4066 – 38 � 107) � 1)
+47020
9687
56707
2) ×
+
107
38
856
321
4066
3) 4066 – 4066 � 0; 4) 56 707 : 0. На 0 делить нельзя. Значит, нельзя вычислить значение данного числового выражения.
403��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
434. Решение.
1) ×
+
4725
15
23625
4725
70875
(р.) — вырученные деньги за I неделю;
2) −4725
300
4425
(р.) — новая цена пары лыж;
3) 15 + 12 � 27 (пар) — продали за II неделю;
4) ×
+
4425
27
30975
8850
119475
(р.) — вырученные деньги за II неделю;
5) ×
+
3700
15
185
37
55500
(р.) — закупка 15 пар;
6) −70875
55500
15375
(р.) — прибыль за I неделю;
7) ×
+
3700
27
259
74
99900
(р.) — закупка 27 пар;
8) −119475
99900
19575
(р.) — прибыль за II неделю.
Ответ: да, магазину удалось увеличить прибыль.
404 ����������2002–2011 гг.
435. Незакрашенной осталась:
17
16
16
16
7
16
9
16− = − = части квадрата.
436. 1) Закрашено: 1
4
1
8
2
8
1
8
3
8+ = + = части круга;
незакрашено: 2
4
1
8
4
8
1
8
5
8+ = + = частей круга
èëè 13
8
8
8
3
8
5
8− = − =⎛
⎝⎜⎞⎠⎟.
2) Закрашено: 1
2
1
8
4
8
1
8
5
8+ = + = частей круга;
незакрашено: 3
8 части круга
èëè 15
8
8
8
5
8
3
8− = − =⎛
⎝⎜⎞⎠⎟.
437. Незакрашенной осталось 1
16 часть квадрата,
а закрашено 15
16 квадрата.
438. а) Закрашена 1
2 часть круга, незакрашена
1
2 часть
круга.
б) Закрашено 4
6 круга или
2
3 круга, незакрашено
2
6 круга или
1
3 часть круга.
440. а) 3
8
5
16
6
16
5
16
6 5
16
11
16+ = + =
+= ;
б) 5
18
2
9
5
18
4
18
5 4
18
9
18
1
2+ = + =
+= = ;
1
81
4
1
81
4
1
8
1
2
1
8
1
2
405��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
в) 4
7
3
14
8
14
3
14
8 3
14
11
14+ = = =
+= ;
г) 7
100
3
10
7
100
30
100
7 30
100
37
100+ = = =
+= .
441. а) 3
5
4
15
9
15
4
15
9 4
15
13
15+ = + =
+= ;
б) 2
7
5
28
8
28
5
28
8 5
28
13
28+ = + =
+= ;
в) 3
22
6
11
3
22
12
22
3 12
22
15
22+ = + =
+= ;
г) 3
4
3
20
15
20
3
20
15 3
20
19
20
9
10+ = + =
+= = .
442. а) 5
9
2
3
5
9
6
9
5 6
9
11
91
2
9+ = + =
+= = ;
б) 1
12
3
4
1
12
9
12
1 9
12
10
12
5
6+ = + =
+= = ;
в) 1
2
3
8
4
8
3
8
4 3
8
7
8+ = + =
+= ;
г) 17
1000
81
100
17
1000
810
1000
17 810
1000
827
1000+ = + =
+= .
443. а) 5
12
1
3
5
12
4
12
5 4
12
9
12
3
4+ = + =
+= = ;
б) 11
24
3
8
11
24
9
24
11 9
24
20
24
5
6+ = + =
+= = ;
в) 5
6
1
24
20
24
1
24
20 1
24
21
24
7
8+ = + =
+= = ;
г) 57
1000
9
10
57
1000
900
1000
57 900
1000
957
1000+ = + =
+= .
444. а) 11
16
3
8
11
16
6
16
11 6
16
5
16− = − =
−= ;
б) 5
6
5
12
10
12
5
12
10 5
12
5
12− = − =
−= ;
в) 4
7
8
21
12
21
8
21
12 8
21
4
21− = − =
−= ;
г) 17
30
4
15
17
30
8
30
17 8
30
9
30
3
10− = − =
−= = .
406 ����������2002–2011 гг.
445. а) 7
9
5
18
14
18
5
18
14 5
18
9
18
1
2− = − =
−= = ;
б) 14
25
1
5
14
25
5
25
14 5
25
9
25− = − =
−= ;
в) 7
10
9
100
70
100
9
100
70 9
100
61
100− = − = − = ;
г) 7
11
21
44
28
44
21
44
28 21
44
7
44− = − =
−= .
446. а) 7
12
1
4
7
12
3
12
7 3
12
4
12
1
3− = − =
−= = ;
б) 22
27
5
9
22
27
15
27
22 15
27
7
27− = − =
−= ;
в) 3
10
43
10 000
3000
10 000
43
10 000
3000 43
10 000
2957
10 000− = − =
−= ;
г) 31
100
21
1000
310
1000
21
1000
310 21
1000
289
1000− = − =
−= .
447. а) 5
8
1
2
5
8
4
8
5 4
8
1
8− = − =
−= ;
б) 7
8
11
24
21
24
11
24
21 11
24
10
24
5
12− = − =
−= = ;
в) 17
18
5
6
17
18
15
18
17 15
18
2
18
1
9− = − =
−= = ;
г) 777
1000
1
10
777
1000
100
1000
777 100
1000
677
1000− = − =
−= .
449. а) 2
3
1
4
8
12
3
12
8 3
12
11
12+ = + =
+= ;
б) 4
5
3
4
16
20
15
20
16 15
20
1
20− = − =
−= ;
в) 1
2
1
3
3
6
2
6
3 2
6
1
6− = − =
−= ;
г) 5
6
3
8
20
24
9
24
20 9
24
29
241
5
24+ = + =
+= = .
450. а) 1
2
2
5
5
10
4
10
5 4
10
9
10+ = + =
+= ;
б) 1
2
2
5
5
10
4
10
5 4
10
1
10− = − =
−= ;
в) 1
4
1
6
3
12
2
12
3 2
12
5
12+ = + =
+= ;
г) 9
10
5
6
27
30
25
30
27 25
30
2
30
1
15− = − =
−= = .
407��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
451. а) 3
4
2
3
9
12
8
12
9 8
12
17
121
5
12+ = + =
+= = ;
б) 3
5
1
3
9
15
5
15
9 5
15
4
15− = − =
−= ;
в) 3
4
2
3
9
12
8
12
9 8
12
1
12− = − =
−= ;
г) 3
4
3
14
21
28
6
28
21 6
28
27
28+ = + =
+= .
452. а) 1
4
1
6
3
12
2
12
3 2
12
1
12− = − =
−= ;
б) 3
5
1
3
9
15
5
15
9 5
15
14
15+ = + =
+= ;
в) 4
5
3
4
16
20
15
20
16 15
20
31
201
11
20+ = + =
+= = ;
г) 7
10
1
4
14
20
5
20
14 5
20
9
20− = − =
−= .
453. 1) 2
9
4
18= ;
4
18
5
18< .
Значит, за обедом съели больше хлеба.
2) 2
9
5
18
4
18
5
18
4 5
18
9
18
1
2+ = + =
+= = .
За обедом и завтраком съели 1
2 часть батона.
3) 11
2
2
2
1
2
1
2− = = = .
На ужин осталась 1
2 часть батона.
454. 1) 3
7
9
21= ;
10
21
9
21> .
Значит, для приготовления какао потребовалось молока меньше, чем для приготовления каши.
2) 10
21
3
7
10
21
9
21
10 9
21
19
21+ = + =
+= .
Было использовано 19
21 молока.
3) 119
21
21
21
19
21
2
21− = − = .
Осталось 2
21 молока.
408 ����������2002–2011 гг.
455. а) x = −11
9; x = −
9
9
1
9; x =
−9 1
9; x =
8
9;
б) x = −15
9; x = −9
9
5
9; x =
−9 5
9; x =
4
9;
в) x = −12
7; x = −
7
7
2
7; x =
−7 2
7; x =
5
7;
г) x = −14
7; x = −
7
7
4
7; x =
−7 4
7; x =
3
7.
456. а) y = −15
8; y = −
8
8
5
8; y =
−8 5
8; y =
3
8;
б) y = −17
12; y = −
12
12
7
12; y =
−12 7
12; y =
5
12;
в) y = −15
16; y = −
16
16
5
16; y =
−16 5
16; y =
11
16;
г) y = −115
24; y = −
24
24
15
24; y =
−24 15
24; y =
9
24; y =
3
8.
457. Примем объем бассейна за 1.
За 1 час одна труба заполнит 1
30 часть бассейна, а другая —
1
15 часть.
Тогда за 1 час совместной работы заполнится:
1
30
1
15
1
30
2
30
1 2
30
3
30
1
10+ = + =
+= = (часть).
Если за 1 час совместной работы обеих труб заполняется 1
10 часть
бассейна, то весь бассейн 110
10=⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
заполнится обеими трубами,
работающими одновременно за 10 часов.
458. 1) 12
5
5
5
2
5
5 2
5
3
5− = − =
−= (часть) — прошел турист за второй день;
2) 45 : 5 � 3 � 27 (км). Ответ: за второй день турист прошел 27 км.
459. 1) 2
9
5
9
2 5
9
7
9+ =
+= (часть) — убрали за первые два дня вместе;
2) 17
9
9
9
7
9
9 7
9
2
9− = − =
−= (часть) — убрали в третий день;
3) 171 : 9 � 2 � 19 � 2 � 38 (га). Ответ: в третий день было убрано 38 га земли.
409��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
460. 1) 2
5
3
10
4
10
3
10
4 3
10
7
10+ = + =
+= (часть) — прочитал Максим за два дня;
2) 5
10
1
2= — половина книги;
5
10
7
10< ;
3) 17
10
10
10
7
10
10 7
10
3
10− = − =
−= (часть) — осталось прочитать;
4) 170 : 10 � 3 � 51 (стр.). Ответ: за два дня Максим прочитал больше половины книги; оста-
лось ему прочитать 51 страницу.
463.
Удобно разделить отрезок MN на 12 равных частей, KN = =8
12
2
3;
ML = =9
12
3
4.
Отрезок KL составляет 5
12 отрезка MN;
5
8 отрезка KN;
5
9 отрезка
ML; 5
41
1
4= отрезка MK;
5
31
2
3= отрезка NL.
Контрольные задания
1. а) 2
7
3
7
2 3
7
5
7+ =
+= ; б)
11
15
7
15
11 7
15
4
15− =
−= .
2. а) 1
2
1
4
2
4
1
4
2 1
4
3
4+ = + =
+= ; б)
2
3
4
9
6
9
4
9
6 4
9
2
9− = − =
−= .
§ 25. Сложение и вычитание смешанных чисел
464. 1) 22
72
2
7+ = ;
2) 23
7
2
72
3 2
72
5
72
5
7+ = +
+= + = ;
3) 23
71
2
72 1
3
7
2
73
5
73
5
7+ = + + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + =( ) ;
4) 23
7
6
72
3 6
72
9
72 1
2
73
2
7+ = +
+= + = + = ;
5) 23
71
6
72 1
3
7
6
73
9
73 1
2
74
2
7+ = + + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + = + =( ) .
410 ����������2002–2011 гг.
465. 1) 15
91 1 1
5
90
5
9
5
9− = − + = + =( ) ;
2) 15
9
2
91
5 2
91
3
91
1
31
1
3− = +
−= + = + = ;
3) 15
9
5
91
5 5
91 0 1− = +
−= + = ;
4) 15
9
7
9
14
9
7
9
14 7
9
7
9− = − =
−= .
466. а) 33
12
5
123
3 5
123
8
123
2
3+ = +
+= = ;
б) 33
121
5
123 1
3
13
5
124
3 5
124
8
124
2
34
3
4+ = + + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= ++
= + = + =( ) ;
в) 33
12
11
123
3
12
11
123
3 11
123
14
123
7
63 1
1
64
1
6+ = + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= ++
= + = + = + = ;
г) 33
12111
123 1
3
12
11
124
3 11
124
14
124
7
64 1
1
6+ = + + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= ++
= + = + = +( ) == 51
6.
467. а) 2
154
7
154
2
15
7
154
3
54
3
54
3
5+ = + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + = + = ;
б) 12
154
7
151 4
2
15
7
155
9
155
3
55
3
5+ = + + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + = + =( ) ;
в) 14
154
7
154
14
15
7
154
21
154
7
54 1
2
55
2
5+ = + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + = + = + = ;
г) 114
154
7
151 4
14
15
7
155
21
155
7
55 1
2
56
2
5+ = + + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + = + = + =( ) .
468. а) 14
111 1 1
4
110
4
11
4
11− = − + = + =( ) ;
б) 14
11
2
111
4
11
2
111
2
111
2
11− = + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + = ;
в) 14
11
4
111
4
11
4
111 0 1− = + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + = ;
г) 14
11
7
11
15
11
7
11
15 7
11
8
11− = − =
−= .
469. а) 25
91 2 1
5
91
5
91
5
9− = − + = + =( ) ;
б) 25
91
2
91 2
5
9
2
91
3
91
1
31
1
3− = − + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + = + =( ) ;
в) 25
91
5
92 1
5
9
5
91 0 1− = − + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + =( ) ;
411��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
г) 25
91
7
91
14
91
7
91 1
14
9
7
90
7
9
7
9− = − = − + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + =( ) .
470. а) 24
111 2 1
4
111
4
111
4
11− = − + = + =( ) ;
б) 24
111
2
112 1
4
11
2
111
2
111
2
11− = − + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + =( ) ;
в) 24
111
4
112 1
4
11
4
111 0 1− = − + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + =( ) ;
г) 24
111
7
111
15
111
7
111 1
15
11
7
110
8
11
8
11− = − = − + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + =( ) .
471. 1657
1001
81
10015
157
1001
81
10015 1
157
100
81
1001− = − = − + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=( ) 4476
100+ =
= =1476
10014
19
25( ).ñ
Ответ: Ваня пробежал дистанцию за 1419
25ñ.
472. 1531
10013
68
10010
21
10015 13 10
31
100
68
100
21
100+ + = + + + + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
( ) ==
= + = + = + =38120
10038
6
538 1
1
539
1
5( ).ñ
Ответ: в эстафете команда имела результат 391
5ñ.
473. а) 1
4
1
3
3 4
12+ =
+; б)
1
5
1
4
4 5
20+ =
+;
в) 1
6
1
5
5 6
30+ =
+; г)
1
7
1
4
4 7
28+ =
+.
474. а) 1
8
1
5
5 8
40+ =
+; б)
1
9
1
2
2 9
18+ =
+;
в) 1
11
1
3
3 11
33+ =
+; г)
1
15
1
2
2 15
30+ =
+.
475. а) 1
12
1
6
1 2
12+ =
+;
1
3
1
4
4 3
12+ =
+;
б) 1
18
1
6
1 6
18+ =
+;
1
6
1
18
3 1
18+ =
+;
1
6
1
3
3 6
18+ =
+;
1
9
1
2
2 9
18+ =
+;
в) 1
3
1
10
10 3
30+ =
+;
1
5
1
6
6 5
30+ =
+;
1
15
1
2
2 15
30+ =
+;
1
30
1
5
1 6
30+ =
+;
г) 1
32
1
4
1 8
32+ =
+;
1
4
1
8
8 4
32+ =
+;
1
32
1
16
1 2
32+ =
+;
1
16
1
2
2 16
32+ =
+.
412 ����������2002–2011 гг.
476. а) 1
9
1
5
5 9
45+ =
+;
1
15
1
3
3 15
45+ =
+;
1
45
1
5
1 9
45+ =
+;
1
45
1
3
1 15
45+ =
+;
б) 1
40
1
5
1 8
40+ =
+;
1
20
1
2
2 20
40+ =
+;
1
40
1
10
1 4
40+ =
+;
1
5
1
8
8 5
40+ =
+;
в) 1
24
1
12
1 2
24+ =
+;
1
3
1
8
8 3
24+ =
+;
1
6
1
4
4 6
24+ =
+;
1
24
1
3
1 8
24+ =
+;
г) 1
12
1
3
3 12
36+ =
+;
1
36
1
12
1 3
36+ =
+;
1
36
1
9
1 4
36+ =
+;
1
4
1
36
9 1
36+ =
+.
477. а) 11
60ìèí ÷= ; 2
2
60
1
30ìèí ÷ ÷= = ;
1010
60
1
6ìèí ÷ ÷= = ; 20
20
60
1
3ìèí ÷ ÷= = ;
б) 51
12ìèí =
5
60÷ ÷= ; 15
15
60
1
4ìèí ÷ ÷= = ; 30
1
2ìèí =
30
60÷ ÷= ;
4545
60
3
4ìèí ÷ ÷= = ;
в) 1212
60
1
5ìèí ÷ ÷= = ; 24
24
60
2
5ìèí ÷ ÷= = ; 48
48
60
4
5ìèí ÷ ÷= = ;
г) 11
3600ñ ÷= ; 10
10
3600
1
360ñ ÷ ÷= = ; 300
300
3600
1
12ñ ÷ ÷;= =
600600
3600
1
6ñ ÷ ÷= = .
478. 1
60
60
601÷
ìèíìèí= = ;
1
20
60
203÷
ìèíìèí= = ;
1
3
60
320÷
ìèíìèí= = ;
1
2
60
230÷
ìèíìèí.= =
Контрольные задания
1. а) 15
15+ = + + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + = + =21
151 2
5
15
1
153
6
153
2
53
2
5( ) ;
б) 37
121
3
123 1
7
12
3
122
4
122
1
32
1
3− = − + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + = + =( ) ;
в) 111
152
8
151 2
11
15
8
153
19
153 1
4
154
4
15+ = + + +⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + = + =( ) ;
г) 37
122
11
122
19
122
11
122 2
19
12
11
120
8
12
8
12
2
3− = − = − + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= + = =( ) .
413��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
§ 26. Умножение и деление обыкновенной дроби на натуральное число
481. а) 5
73
5 3
7
15
72
1
7⋅ =
⋅= = ; б)
2
55
2 5
5
10
52⋅ = ⋅ = = ;
в) 3
72
3 2
7
6
7⋅ =
⋅= ; г)
4
154
4 4
15
16
151
1
15⋅ =
⋅= = .
482. а) 68
13
6 8
13
48
133
9
13⋅ =
⋅= = ; б) 8
12
19
8 12
19
96
195
1
19⋅ =
⋅= = ;
в) 73
8
7 3
8
21
82
5
8⋅ =
⋅= = ; г) 9
4
5
9 4
152
6
152
2
5⋅ =
⋅= = .
483. 101
100
10 1
100
1
10⋅ =
⋅= (часть).
Ответ: за 10 ч Валера успеет изучить 1
10 часть пособия.
484. 101
10
10 1
10
10
101⋅ =
⋅= = .
Ответ: за 10 мин Сережа очистит всю дорожку.
485. 1) 201
3ìèí ÷;=
2) 3 ⋅ = ⋅ = =2
15
3 2
15
6
15
2
5 (запасов) — съели за 1 час.
Ответ: за час Вини-Пух с Пяточком съели 2
5 всех запасов Кролика,
это меньшая часть его запасов, так как осталось: 12
5
5
5
2
5
3
5− = − = —
бîльшая часть, чем 2
5.
486. 1) 101
1000
10 1
1000
1
100⋅ =
⋅= (часть) — пролетит самолет за 10 с;
2) 187 � 1000 � 187 000 (м) � 187 (км).
Ответ: за 10 с самолет пролетит 1
100 часть расстояния между
городами А и В, расстояние между городами А и В равняется 187 км.
487. а) 51
20
5 1
20
5
20
1
4⋅ =
⋅= = (часть);
б) 101
20
10 2
20
1
2⋅ =
⋅= (часть) — за 10 мин;
414 ����������2002–2011 гг.
в) 1
20 часть составляет 30 г, тогда в горшочке было: 30 � 20 � 600 (г)
меда;
г) 201
20
20 1
20
20
201⋅ =
⋅= = .
Значит, за 20 мин Винни-Пух съел все содержимое горшочка с медом.
30 мин – 20 мин � 10 мин. Поэтому, 10 мин Винни-Пух шел с пустым горшочком.
10 мин — это 1
3 часть 30 мин, тогда Винни-Пух с пустым
горшочком шел 1
3 часть пути.
488. Примем объем танка для хранения нефти за 1, тогда за 1 час один
насос заполнит 1
4 часть танка, а другой —
1
16 часть.
1) 1
4
1
16
4
16
1
16
5
16+ = + = (часть) — за 1 час заполнят оба насоса;
2) 35
16
3 5
16
15
16⋅ =
⋅= (часть).
Ответ: за 2 ч будет заполнено 15
16 части танка, если оба насоса
будут включены одновременно.
489. Примем партию деталей за 1, тогда фрезеровщик за 1 час обработает
1
3 часть партии, а его ученик —
1
6 часть.
1) 1
6
1
3
1
6
2
6
3
6
1
2+ = + = = (часть);
2) 21
2
2 1
2
2
21⋅ =
⋅= = .
Ответ: да, за 2 часа фрезеровщик и его ученик успеют обработать партию деталей, если будут работать одновременно.
491. 1) 6
72
6 2
7
3
7:
:;= = 2)
8
254
8 4
25
2
25:
:;= =
3) 15
343
15 3
34
5
34:
:;= = 4)
5
85
5 5
8
1
8:
:.= =
492. а) 5
116
5
11 6
5
66: ;=
⋅= б)
4
57
4
5 7
4
35: ;=
⋅=
в) 3
74
3
7 4
3
28: .=
⋅=
415��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
493. 1) 11
2
2
2
1
2
1
2− = − = (часть) — осталось пиццы;
2) 1
24
1
2 4
1
8: =
⋅= (часть).
Ответ: каждому из гостей досталась 1
8 часть пиццы.
494. 1) 3
83
3 3
8
1
8:
:= = (часть) — колбасы;
2) 1
43
1
4 3
1
12: =
⋅= (часть) — хлеба.
Ответ: каждому из друзей досталась 1
8 часть батона колбасы
и 1
12 часть батона хлеба.
495. а) 6
72
6 2
7
3
7:
:;= = б)
1
72
1
7 2
1
14: ;=
⋅=
в) 15
115
15 5
11
3
11:
:;= = г)
17
115
17
11 5
17
55: .=
⋅=
496. а) 24
256
24 6
25
4
25:
:;= = б)
17
313
17
31 3
17
93: ;=
⋅=
в) 16
195
16
19 5
16
95: ;=
⋅= г)
18
239
18 9
23
2
23:
:.= =
497. 1) 5
96
5
9 6
5
54: =
⋅= (м/мин);
2) 95
54
9 5
54
45
54
5
6⋅ =
⋅= = (м).
Ответ: скорость гусеницы равняется 5
54 м/мин, за 9 мин гусеница
преодолеет 5
6 м.
498. 1) 2
310
2
3 10
2
30
1
15: =
⋅= = (часть) — за 1 день;
2) 151
15
15 1
15
15
151⋅ =
⋅= = .
Ответ: за 1 день Кот Матроскин успевал заготовить 1
15 часть дров:
за 15 дней он успеет заготовить все необходимое на зиму количество дров.
416 ����������2002–2011 гг.
499. 1) 3
1021
3
10 21
3
210
1
70: =
⋅= = (часть) — за 1 с;
2) 1
7060
1 60
70
60
70
6
7⋅ =
⋅= = (часть).
Ответ: за 1 мин заполнится 6
7 бензобака.
500. 1) 1
73
2
7 3
2
21: =
⋅= (часть) — за 1 день;
2) 2
215
2 5
21
10
21⋅ =
⋅= (часть).
Ответ: за 5 дней смогут прополоть 10
21 поля.
501. 1 � 10 � 10; 1
1010
1 10
10
10
101⋅ =
⋅= = ;
1
10010
1 10
100
10
100
1
10⋅ =
⋅= = ;
1
100010
1 10
1000
10
1000
1
100⋅ =
⋅= = ;
1
10 00010
1 10
10 000
10
10 000
1
1000⋅ =
⋅= = .
502. 1 101
10: ;=
1
1010
1
10 10
1
100: ;=
⋅=
1
10010
1
100 10
1
1000: ;=
⋅=
1
100010
1
1000 10
1
10 000: ;=
⋅=
1
10 00010
1
10 000 10
1
100 000: .=
⋅=
503. а) 1
6
2
33
1
6
4
63
5
63
5 3
6
15
6
5
22
1
2+⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⋅ = +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ = ⋅ =⋅
= = = ;
б) 17
30
2
1513
17
30
4
3013
13
3013
13
30 13
13
390−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= =⋅
= =: : :11
30;
в) 1
8
3
45
1
8
6
85
7
85
7
8 5
7
40+⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= =⋅
=: : : ;
г) 4
3
1
94
12
9
1
94
13
94
13 4
9
52
95
7
9+⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⋅ = +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ = ⋅ =⋅
= = .
504. а) 3
4
1
25
3
4
2
45
1
45
1 5
4
5
41
1
4−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⋅ = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ = ⋅ =⋅
= = ;
б) 5
7
1
212
15
21
1
212
16
212
16 2
21
8
21+⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= = =: : ::
;
в) 7
10
1
53
7
10
2
103
5
103
5
10 3
5
30
1
6−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= =⋅
= =: : : ;
г) 1
4
1
125
3
12
1
125
2
125
1
65
1 5
6
5
6−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⋅ = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ = ⋅ = ⋅ =⋅
= .
417��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
Контрольные задания
1) 2
36
2 6
3
12
34⋅ =
⋅= = ;
2) 8
114
8
11 4
8
44
2
11: ;=
⋅= =
3) 3
75
3
7 5
3
35: .=
⋅=
ГЛАВА III. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
§ 27. Определение угла. Развернутый угол
506.
507. �DOA, �COB.508. а) СО — общая сторона �AOC и �BOC,
�AOB — развернутый;
б) МО — общая сторона �KOM и �NOM.
510. I способ Если урожай третьего участка уменьшить на 12 ц, то с каждого из
трех участков земли картофеля собрали поровну, всего 156 – 12 � ��144 (ц). Тогда с каждого участка собрали 144 : 3 � 48 (ц) карто-феля. Но это количество картофеля, собранное с первого и второго участков. Тогда с третьего участка собрали 48 + 12 � 60 (ц) карто-феля.
Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц.
418 ����������2002–2011 гг.
II способ Увеличим урожай первого и второго участка на 12 ц, тогда с каждо-
го из трех участков соберут картофеля поровну, а вместе 156 + 12 � 2 � � 180 (ц). С каждого участка соберут 180 : 3 � 60 (ц). Но это количес-тво картофеля, собранное с третьего участка. Тогда с первого и вто-рого соберут по 60 – 12 � 48 (ц).
Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц.
III способ Обозначим количество картофеля, собранного с первого и второго
участков, х кг; тогда с третьего участка собрали (х + 12) кг, а вместе с трех участков (x + x + x + 12) кг. Но по условию задачи с трех учас-тков вместе собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение:
x + x + x + 12 � 156; 3x + 12 � 156; 3x � 156 – 12; 3x � 144; x � 144 : 3; x � 48. Итак, получили, что с первого и второго участков собрали по 48 ц
картофеля, а с третьего — 48 + 12 � 60 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля,
а с третьего — 60 ц. IV способ Обозначим количество собранного картофеля с третьего участка
земли х кг. Тогда с первого и второго участков собрали по (х – 12) ц, а с трех участков вместе — (x – 12 + x – 12 + x) ц. По условию зада-чи, с трех участков собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение:
x – 12 + x – 12 + x � 156; 3x – 12 – 12 � 156; 3x � 180; x � 60. Итак, получили, что с третьего участка собрали 60 ц картофеля,
а с первого и второго — по 60 – 12 � 48 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля,
а с третьего — 60 ц.511. 1) х ц; (х + 12) ц; (x + x + x + 12) ц; 2) x + x + x + 12 � 156; 3) мы найдем массу картофеля, собранного со второго (и первого)
участка: x + x + x + 12 � 156; 3x + 12 � 156; 3x � 156 – 12; 3x � 144; x � 144 : 3; x � 48; 4) со второго участка собрали 48 ц картофеля, а с третьего — 48 + 12 ��
� 60 (ц).512. 1) (х + 27) книг стоит на второй полке; 2) (x + x + 27) книг стоит на двух полках; 3) x + x + 17 � 185; 2x + 27 � 185; 2x � 185 – 27; 2x � 158; x � 158 : 2; x � 79. Значит, на первой полке стояло 79 книг, а на второй — 79 + 27 �
��106 (книг).
419��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
513. Обозначим третье слагаемое буквой х, тогда сумма трех слагае-мых — (6485 + (6485 – 4163) + х). По условию задачи, сумма трех слагаемых равна 15 731. Составим уравнение:
6485 + (6485 – 4163) + х � 15 731. 6485 + 2322 + х � 15 731; 8807 + х � 15 731; х � 15 731 – 8807; х � 6924.
−6485
4163
2322
+6485
2322
8807
−15731
8807
6924
Итак, третье слагаемое равно 6924. Ответ: 6924 — третье слагаемое. Можно было решить эту задачу по действиям: 1)
−6485
4163
2322
— второе слагаемое;
2) +
6485
2322
8807
— сумма первого и второго слагаемых;
3) −
15731
8807
6924
Ответ: 6924 — третье слагаемое.514. Пусть исходное выражение имело вид: a – b � c. Если вычитаемое уменьшить на 262, выражение примет вид: a – (b – 262) � c. а) Уменьшаемое уменьшить на 262; б) уменьшаемое уменьшить на 262 + 74 � 336; в) уменьшаемое уменьшить на 262 – 35 � 227.
Контрольные задания
1. �KAN, �KAL, �KAM, �MAL, �LAM, �MAN;
�MAN и �KAL — развернутые.
2. Дополнительные лучи.
420 ����������2002–2011 гг.
3. 1) �СОА — острый, �AOD — тупой, �COD — развернутый;
2) �COA и �DOA — прямые, �COD — развернутый.
§ 28. Сравнение углов наложением
516. а) Угол СВА меньше угла MNK, так как он целиком расположен внутри него, если их попытаться совместить;
б) угол KNM меньше угла CBA, так как он целиком расположен внутри него, если их попытаться совместить;
в) �CBA и �KNM равны, так как они совпадают, если их совмес-тить.
517. а) �ABC больше �A1B1C1; б) �B1A1C1, �B1C1A1; �B1A1C1 меньше �A1B1C1; �B1C1A1 меньше
�A1B1C1.518. 1 способ 1) 135 : 5 � 27 (км/ч) — общая скорость велосипедистов; 2) 27 – 13 � 14 (км/ч) — скорость второго велосипедиста. Ответ: скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч. 2 способ 1) 13 � 5 � 65 (км) — проехал первый велосипедист за 5 ч; 2) 135 – 65 � 70 (км) — проехал второй велосипедист за 5 ч; 3) 70 : 5 � 14 (км/ч) — скорость второго велосипедиста. Ответ: скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч.519. Первый — ? на 32 кг тяжелее, чем Второй — ? на 14 кг легче, чем Третий — ?
⎫⎬⎪
⎭⎪280 êã
Решение. а) Отколем от первого куска 32 кг, а от третьего — 14 кг, тогда каж-
дый кусок мрамора будет одинаковой массы, а всего останется 280 – (14 + 32) � 280 – 46 � 234 (кг).
Масса каждого куска мрамора равна 234 : 3 � 78 (кг). Но это масса второго куска мрамора. Масса первого — 78 + 32 � 110 (кг), а третьего — 78 + 14 � 92 (кг). Ответ: масса первого куска мрамора равна 110 кг, второго —
78 кг, третьего — 92 кг. б) (х + 32) кг — масса первого куска; (х + 14) кг — масса третьего куска; ((x + 32) + x + (x + 14)) кг — масса трех кусков; в) (x + 32) + x + (x + 14) � 280; x + 32 + x + x + 14 � 280; 3x + 46 � 280; 3x � 280 – 46; 3x � 234; x � 234 : 3; x � 78.
421��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
Контрольные задания
�АОВ меньше �ВОС.
§ 29. Измерение углов
522. �MNK � 35�; �ABC � 35�; �DEF � 140�; �FGH � 130�.523. а) �ABC � 75� — острый; б) �MNK � 120� — тупой;
в) �DEF � 30� — острый; г) �LNP � 145� — тупой;
д) �PST � 45� — острый; е) �QEH � 130� — тупой.
524. �ABC � 21�; �DEF � 145�; �MNK � 40�; �FGH � 100�.
526. а) 11
180° ⎯ ; 3
3
180
1
60° =⎯ ; 10
10
180
1
18° =⎯ ; 50
50
180
5
18° =⎯ ;
б) 3030
180
1
6° =⎯ ; 60
60
180
1
3° =⎯ ; 90
90
180
1
2° =⎯ ;
120120
180
2
3° =⎯ ; 150
150
180
5
6° =⎯ ;
в) 4545
180
1
4° =⎯ ; 135
135
180
3
4° =⎯ ; 80
80
180
4
9° =⎯ ;
1212
180
1
15° =⎯ ;
422 ����������2002–2011 гг.
г) 1515
180
1
12° =⎯ ; 18
18
180
1
10° =⎯ ; 36
36
180
1
5° =⎯ ;
2020
180
1
9° =⎯ .
527. а) 1
2 прямого угла:
1
290 45⋅ ° = °;
б) 1
3 прямого угла:
1
390 30⋅ ° = °;
в) 2
3 прямого угла:
2
390
2 90
360⋅ ° =
⋅ °= °;
г) 1
4 развернутого угла:
1
4180 45⋅ ° = °;
д) 1
3 развернутого угла:
1
3180 60⋅ ° = °;
е) 3
4 развернутого угла:
3
4180
3 180
4135⋅ ° =
⋅ °= °.
528. а) 15� � 10 � 150�; в) 12� : 6 � 7 � 14�; б) 8� : 2 � 5 � 20�; г) 18� : 9 � 11 � 22�.529. 1) 20 ч 55 мин – 17 ч 55 мин � 3 ч; 2) 60 � 6 � 360 (км); 3) 537 – 360 � 177 (км); 4) 177 : 3 � 59 (км/ч). Ответ: скорость второго поезда равна 59 км/ч.
423��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
530. 1) 165 – 105 � 60 (р.) — разница стоимости куска ситца и бязи; 2) 60 : 4 � 15 (м) — длина куска ситца и бязи; 3) 105 : 15 � 7 (р.) — цена 1 м ситца; 4) 7 + 4 �11 (р.) — цена 1 м бязи. Ответ: в каждом куске ситца и бязи по 15 м ткани; 1 м бязи стоит
11 р., а 1 м ситца — 7 р.
Контрольные задания
1. �MNL � �MNK – �KNL � 180� – 65� � 115�.
2. �ABC � 70� — острый; �MNK � 90� — прямой; �CDE � 130� — тупой.
§ 30. Биссектриса угла
531.
533. а) 8 углов; из них 4 развернутых угла; б) пусть при пересечении двух прямых
образовались углы 1; 2; 3; 4. �1 � �2; �3 � �4; а также еще четыре развернутых угла:
5; 6; 7; 8; �5 � �6 � �7 � �8 � 180�. Пусть �1 � 80�. �1 + �3 � 180�, �3 � 180� – �1 � 180� – 80� � 100�. Значит, �1 � �2 � 80�, �3 � �4 � 100�. Ответ: при пересечении двух прямых образовались углы 80�,
100�, 80�, 100� и четыре развернутых угла.534. 1) 180� – 25� � 155�. Ответ: при пересечении двух прямых образовались углы 25�,
155�, 25�, 155�.535. Диагональ квадрата является биссектрисой его угла, а диагональ
прямоугольника не является биссектрисой его угла. Биссектриса делит развернутый угол на два равных прямых угла: 180� : 2 � 90�.
536. 1) Можно провести диагональ клетки в тетради.
424 ����������2002–2011 гг.
537. �AOC, �AOB, �BOC — тупые.
Четыре угла с таким условием построить нельзя, так как сумма четырех тупых углов будет больше 360�.
538. Сумма всех углов, образованных при пересечении двух прямых (не считая развернутых) равна 360�.
360� : 4 � 90�. Поэтому, если провести 4 луча, то все образовавшиеся углы не будут острыми. Значит, нужно провести 5 лучей.
�BOC — прямой, целиком расположен внутри развернутого угла AOD, при этом �AOB и �DOC — острые, �AOB � 43�, �DOC � 45�.
540. �MON + �NOA � 75� + 105� � 180�, значит, лучи OM и OA могут быть дополнительными.
�NOA + �AOB � 105� + 75� � 180�, значит, лучи ON и ОВ могут быть дополнительными.
541. OK — биссектриса угла MOC, OP — биссектриса угла CON. �KOP � 45�, так как: �KOP � �KOC + �POC �
1
2
1
21
21
2
1
290 45
∠ + ∠ =
= ∠ + ∠ =
= ∠ = ⋅ ° = °
MOC CON
MOC CON
MON
( )
.
542. а) 425 � 17 + 3008 � 10 403;
1) ×
+
435
17
3045
435
7395
2) +
7395
3008
10403
б) 435 � (17 + 3008) � 1 315 875;
1) +
3008
17
3025
2) ×
+
3025
425
15125
9075
12100
1315875
425��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
в) 27 � 64 + 89 � 502 � 46 406; 1)
×
+
27
64
108
162
1728
2) ×
+
502
89
4518
4016
44678
3) +
44678
1728
46406
г) 27 � (64 + 89) � 502 � 2 973 762; 1)
+67
89
153
2) ×
+
153
27
1071
306
4131
3) ×
+
4131
502
8262
20655
2073762
543. Примем всю работу за 1, тогда первая мастерская выполнит за 1 день
1
16 часть всей работы; вторая —
1
24 часть; третья —
1
48 часть.
1) 1
16
1
24
1
48
6
96
4
96
2
96
6 4 2
96
12
96
1
8+ + = + + =
+ += = (часть) —
выполнят за 1 день три мастерские, работая одновременно. 2) Значит, всю работу три мастерские, работая одновременно, вы-
полнят за 8 дней.
3) 1
168
1 8
16
8
16
1
2⋅ =
⋅= = (часть) — выполнит первая мастерская;
4) 1
24960
1 960
2480⋅ =
⋅= (книг) — переплетет первая мастерская;
5) 1
248
1 8
24
1
3⋅ =
⋅= (часть) — выполнит вторая мастерская;
6) 1
3960
1 960
3320⋅ =
⋅= (книг) — переплетет вторая мастерская;
7) 1
488
1 8
48
1
6⋅ =
⋅= (часть) — выполнит третья мастерская;
6) 1
6960
1 960
6160⋅ =
⋅= (книг) — переплетет третья мастерская.
Ответ: за 8 дней три мастерские, работая одновременно, выполнят всю работу, причем первая успеет переплести 480 книг, вторая — 320 книг, третья — 160 книг; распределить книги между мастер-скими, чтобы эта работа была выполнена за более короткий срок, нельзя.
544. 2) Обозначим буквой х количество зерна на втором элеваторе, тогда на первом элеваторе было 3х т зерна. Если с первого элеватора вывезти 850 т, то на нем останется: (3х – 850) т, если со второго
426 ����������2002–2011 гг.
элеватора вывезти 150 т, то на нем останется: (х – 150) т. Так как после этого на обоих элеваторах зерна осталось поровну, составим уравнение: 3x – 850 � x – 150.
1) 850 – 150 � 700 (т); 2) 700 : 2 � 350 (т) — на втором элеваторе; 3) 350 � 3 � 1050 (т) — на первом элеваторе. Ответ: на первом элеваторе было 1050 т зерна.
Контрольные задания
1 Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, делящий данный угол на два равных угла.
2. Луч BK — биссектриса �ABC;
∠ = ∠ = ∠ = ⋅ ° = °ABK CBK ABC1
2
1
270 35 .
§ 31. Треугольник
546. 1) �ABC � 45� + 30� � 75�; 2) 120� � 90� + 30�; 105� � 60� + 45�; 15� � 45� – 30�; 3) 135� � 90� + 45�; 150� � 90� + 60�; также можно построить углы по 30�; 60�; 45�; 90�.547. 1) 8 + 12 � 20 (чел.) — размещаются в 1-ой 8-местной и в 1-ой
12-местной шлюпках одновременно; 2) 340 : 20 � 17 (шлюп.) — количество шлюпок; 3) 17 � 8 � 136 (чел.) — всего в 8-местных шлюпках; 4) 17 � 12 � 204 (чел.) — всего в 12-местных шлюпках. Ответ: в 8-местных шлюпках могут разместиться 136 человек,
а в 12-местных — 204 человека.548. 1) 240 : 8 – 300 : 20 + 576 : 32 � 30 – 15 + 18 � 15 + 18 � 33;
−
−
566
52
32
18
256
256
0
427��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
б) ((160 240 : 8 + 7 997 000 : 100) : 1000 � 7 + 947) � 100 � 164 7000; 1)
−
−
160240
16
8
20030
024
24
0
2) 7 997 000 : 100 � 79 970;
3) +
79970
20030
100000
4) 100 000 : 1000 � 100;
5) 100 � 7 � 700; 6) +947
700
1647
7) 1647 � 100 � 164 700.
550. Обозначим массу одного апельсина х г. 7 � х + 2 � 200 � 2 � 1000 + 500; 7х + 400 � 2500.551. 3) (х + 45) м — количество ткани, которое было в куске сатина зеле-
ного цвета; 2х м — количество ткани, оставшейся в куске сатина синего цвета; (28 + 2х) м — количество ткани, которое было в куски сатина си-
него цвета. б) х + 45 � 2х + 28.552. а) AB x
B x
A x
P AB
=== −
⎫⎬⎪
⎭⎪
ñì
ñì
ñì
;
C ;
C ( ) ;
?C2
2 7Δ ⎯
P�ABC � AB + BC + AC; P�ABC � x + 2x + (2x – 7) � x + 2x + 2x – 7 � 5x – 7 (см); б) AB y
B y
A y
P AB
=== −
⎫⎬⎪
⎭⎪
ñì
ñì
ñì
;
C ;
C ( ) ;
?C4
4 10Δ ⎯
P�ABC � AB + BC + AC; P�ABC � y + 4y + (4y – 10) � y + 4y + 4y – 10 � 9y – 10 (см).553. а) 5x – 7 � 68; 5x � 68 + 7; 5x � 75; x � 75 : 5; x � 25. Значит, АВ � 15 м; ВС � 2 � 15 � 30 (м); АС � 30 – 7 � 23 (м). б) 9y – 10 � 197; 9y � 197 + 10; 9y � 207; y � 207 : 9; y � 23. Значит, АВ � 23 см; ВС � 4 � 23 � 92 (см); АС � 92 – 10 � 82 (см).554. а) MN � a см; NK � (a – 30) см; KM � 4(a – 30) см. P�MNK � MN + NK + KM; P�MNK � a + (a – 30) + 4(a – 30); б) MN � b см; NK � (b + 12) см; KM � 2b см. P�MNK � MN + NK + KM; P�MNK � b + (b + 12) + 2b � b + b + 12 + 2b � 4b + 12.
428 ����������2002–2011 гг.
555. а) a + (a – 30) + 4(a – 30) � 108; a + a – 30 + 4a – 120 � 108; a + a + 4a – (30 + 120) � 108; 6a – 150 � 108; 6a � 108 + 150; 6a � 258; a � 258 : 6; a � 43. Значит, MN � 43 см; NK � 43 – 30 � 13 (см); KM � 4 � 13 � 52 (см). Ответ: MN � 43 см; NK � 13 см; KM � 52 см. б) b + b + 12 + 2b � 164; 4b + 12 � 164; 4b � 164 – 12; 4b � 152; b � 152 : 4; b � 38. Значит, MN � 38 см; NK � 38 + 12 � 50 (см); KM � 2 � 38 � 76 (см). Ответ: MN � 38 см; NK � 50 см; KM � 76 см.559. а) ((24 � 250 + 18 � 350) : 60 � 40 + (44 � 4500 + 108 � 1500) : 20) : 40 � 655;
1) ×
+
44
4500
220
176
198000
2) ×
+
18
350
90
54
6300
3) +
6000
6300
12300
4) −
−
12300
12
60
205
030
30
0
5) ×205
40
8200
6) ×
+
44
4500
220
176
198000
7) ×
+
108
1500
540
108
162000
8) +198000
162000
360000
9) −
−
360000
2
20
18000
16
16
0
10) +18000
8200
26200
11) −
−
−
26200
24
40
655
22
20
20
20
0
429��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
б) (64 � 125 + 128 � 75) : 800 � 5000 – (300 � 400 + 5107 � 800) : 70 � ��49 920;
1) ×
+
125
64
500
750
8000
2) ×
+
128
75
640
896
9600
3) +
9600
8000
17600
4) −
−
17600
16
800
22
16
16
0
5) ×22
5000
110000
6) 300 � 400 � 120 000;
7) ×
5107
800
4085600
8) +4085600
120000
4205600
9) −
−
4205600
42
70
60080
056
56
0
10) −110000
60080
49920
560. а) 1 способ — алгебраический. Обозначим меньшее число х, тогда бîльшее число — (х + 200).
Так как сумма этих чисел равна 790, составим уравнение: x + x + 200 � 790; 2x + 200 � 790; 2x � 790 – 200; 2x � 590; x � 590 : 2; x � 295. Значит, меньшее число — 295, а большее — 295 + 200 � 495. Ответ: искомые числа 295 и 495. 2 способ — арифметический. 1) 790 – 200 � 590 — сумма двух равных чисел; 2) 590 : 2 � 295 — меньшее число; 3) 295 + 200 � 495 — бîльшее число. Ответ: искомые числа 295 и 495. б) 1 способ — алгебраический. Обозначим количество гирь по 5 кг х штук, тогда гирь по 3 кг
было (24 – х) штук. Так как на одну чашу весов поставлены гири массой по 5 кг, а на другую — по 3 кг, а весы находятся в равновесии, составим уравнение:
5x � 3(24 – x); 5x � 72 – 3x; 5x + 3x � 72; 8x � 72; x � 72 : 8; x � 9.
430 ����������2002–2011 гг.
Значит, гирь массой по 5 кг было 9 штук, а по 3 кг — 24 – 9 � ��15 (штук).
Ответ: на одной чаше весов находится 9 гирь массой по 5 кг, а на другой — 15 гирь массой по 3 кг.
2 способ — арифметический. 1) 3 � 24 � 72 (кг) — масса 24 гирь по 3 кг; 2) 3 + 5 � 8 (кг) — масса 1 гири по 3 кг и 1 гири по 5 кг вместе; 3) 72 : 8 � 9 (шт.) — количество гирь по 5 кг; 4) 24 – 9 � 15 (шт.) — количество гирь по 3 кг. на одной чаше весов находится 9 гирь массой по 5 кг, а на
другой — 15 гирь массой по 3 кг.
561. а) 11
4
2
41
3
4+ = ; б) 5
1
22
1
87
5
8+ = ;
в) 38
322
20
325
7
8+ = ; г) 2
6
83
1
46+ = .
562. 2) Не существует треугольника со сторонами 2 см, 3 см и 5 см, по-тому что 2 см + 3 см � 5 см, то есть вместо треугольника мы полу-чим отрезок длиной 5 см, разделенный на две части длиной 2 см и 3 см.
563. От 4 см до 14 см, не включая 4 см и 14 см, например, 4 см 2 мм, или 10 см, или 13 см 9 см и т. д.
564. — Если a � 8, b � 7, c � 12, то 12 < 8 + 7; 7 < 12 + 8. Значит, треугольник со сторонами a � 8, b � 7, c � 12 существует; — если a � 3, b � 14, c � 10, то 3 < 14 + 10; 14 > 3 + 10; 10 < 3 + 14; 14 < 3 + 10; значит, треугольник с данными сторонами не сущест-
вует; — если a � 5, b � 11, c � 9, то 5 < 11 + 9; 9 < 5 + 11; 11 < 5 + 9, значит,
треугольник с данными сторонами существует; — если a � 21, b � 6, c � 13, то 21 > 6 + 13; 6 < 21 + 13; 13 < 21 + 6; 21 > 6 + 13, значит, треугольник с данными сторонами не сущест-
вует; — если a � 11, b � 21, c � 10, то 11 < 21 + 10; 21 � 11 + 10; 10 < 21 + 11; 21 � 11 + 10, значит, треугольник с данными сторо-
нами не существует; — если a � 10, b � 22, c � 11, то 22 > 10 + 11; 10 < 22 + 11; 11 < 10 + 22; 22 > 10 + 11, значит, треугольник с данными сторо-
нами не существует.565. а) нельзя, так как 10 см + 10 см < 30 см; б) можно, так как 30 см + 40 см > 50 см, 40 см + 50 см > 30 см, 50 см + 30 см > 40 см; в) можно, так как 8 см 8 мм + 29 см 12 мм > 21 см 5 мм, 8 см 8 мм + 21 см 5 мм > 29 см 12 мм, 29 см 12 мм + 21 см 5 мм >
> 8 см 8 мм; г) нельзя, так как 238 см 7 мм + 432 см 6 мм � 691 см 3 мм, 671 см 3 мм < 781 см 4 мм.
431��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
Контрольные задания
1. Угольник с углами 90�, 60�, 30� и угольник с углами 90�, 45�, 45�.2. 75� � 45� + 30�; 135� � 90� + 45�; угол 25� при помощи угольника
построить нельзя.3. Прямоугольным называют треугольник, в котором есть прямой угол. Тупоугольным называют треугольник, в котором есть тупой угол. Остроугольным называют треугольник, в котором все углы острые.
прямоугольный тупоугольный остроугольный4. P�ABC � AB + BC + AC; P�ABC � 1 см 6 мм + 2 см 1 мм + 2 см 7 мм � 6 см 4 мм.
§ 32. Площадь треугольника
566. Чтобы найти площадь треугольника АВС, нужно найти половину площади прямоугольника ABCD.
567. а) SABCD � AB � AD; SABCD � 10 мм � 26 мм � 260 мм2; S�ABD � 260 : 2 � 130 (мм2); б) S�ADC � SABCD : 2 � (AD � DC) : 2 � (26 � 15) : 2 � 390 : 2 � 195 (мм2); в) S�ABD � SABCD : 2 � (AB � AD) : 2 � (13 � 34) : 2 � 442 : 2 � 221 (мм2); г) S�ABC � SABCD : 2 � (AB � BC) : 2 � (27 � 26) : 2 � 702 : 2 � 351 (мм2).568. S�ABC � S�ABD + S�BDC � (AD � BD) : 2 + (DC � BD) : 2 � (AD � BD � DC � BD) : 2 �
��(BD � (AD + BC)) : 2 � (BD � AC) : 2. Значит, S�ABC � (BD � AC) : 2.569. а) (15 � 20) : 2 � 150 (мм2); б) (22 � 19) : 2 � 418 : 2 � 209 (мм2); в) (18 � 23) : 2 � 414 : 2 � 207 (мм2); г) (21 � 22 ) : 2 � 462 : 2 � 231 (мм2).571. а) S�ADC � (16 � 27) : 2 � 216 (мм2); б) S�MNK � )19 « 20) : 2 � 190 (мм2); в) S�ABC � (16 � 25) : 2 � 200 (мм2); г) S�MNK � (18 � 21) : 2 � 189 (мм2).572. а) Третья сторона треугольника может быть меньше 23 см, но боль-
ше 9 см; б) третья сторона треугольника может быть меньше 69 см 3 мм,
но больше 25 см 9 мм; в) третья сторона треугольника может быть меньше 17 см, но боль-
ше 7 см; г) третья сторона треугольника может быть меньше 10 см 1 мм,
но больше 5 см 5 мм.573. а) 8 см (4 см нельзя взять, потому что тогда 4 + 4 � 8 (см), то есть
треугольник со сторонами 4 см, 4 см и 8 см не существует). б) 13 см (так как 6 + 6 < 13); в) 37 см (так как 18 см 4 мм + 18 см 4 мм < 37 см); г) 23 см 4 мм (так как 11 см 7 мм + 11 см 7 мм � 23 см 4 мм).
432 ����������2002–2011 гг.
574. Расстояние между точками А и С может быть больше 18 см, но меньше 30 см. Тогда расстояние между точками А и D мо-
жет быть больше 12 см, но меньше 36 см.
575. а) Точка K не лежит на отрезке MN, то есть точки K, M, N — вершины �MNK, так как:
KM < MN + KN (23 см < 75 см + 57 см); MN < KM + KM (75 см < 23 см + 57 см); KN < KM + MN (57 см < 23 см + 75 см).
б) Точка М лежит на отрезке KN, так как
KM + MN � KN (49 см + 37 см � ��86 см).
576. а) Цена 1 кг Количество Стоимость
Конфеты I сорта 96 р. 40 кг (40 � 96) р. }6570 ð.Конфеты II сорта 78 р. ? кг ? р.
Решение. 1)
×96
403840
(р.) — стоят 40 кг конфет I сорта;
2) −
6570
38402730
(р.) — стоят конфеты II сорта;
3) −
−
2730
234
78
35390
3900
(кг) — купили конфет II сорта.
Ответ: было куплено 35 кг более дешевых конфет. б)
А
B
C
D
7 см
24 см
6 см
M
75 см
K
N
23 см
57 см
49 см MK N37 см
86 см
vа � 105 км/ч, tа � 2 мин + 10 мин
a m
vм � 15 км/ч
vм � 210 км/чtм � 10 мин
Sa
Sм
433��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
vа � скорость автомобиля; tа � время автомобиля; vм � скорость мотоциклиста; tм � время мотоциклиста. Решение.
1) 22
60ìèí ÷;= 10
10
60ìèí ÷= ;
2 10 1212
60
1
5ìèí ìèí ìèí ÷ ÷+ = = = ;
2) 1051
5
105 1
521⋅ =
⋅= (км) — путь автомобиля до разворота
мотоциклиста;
3) 21010
60
210 1
6
70
235⋅ =
⋅= = (км) — пусть мотоциклиста до его
разворота; 4) 105 + 15 � 120 (км/ч) — общая скорость мотоциклиста и
автомобиля при движении их навстречу друг друга; 5) 35 – 21 � 14 (км) — разница пути, пройденного мотоциклистом
за 10 мин, а автомобилем за 12 мин;
6) 14 12014
120
7
607: .= = =÷ ìèí
Ответ: через 7 мин после разворота инспектор повстречает «Оку».577. а) 395 � 52 – 603 � 25 – 960 : 24 � 5425; 1)
×
+
395
52
790
1975
20540
2) ×
+
603
25
3015
1206
15075
3) −960
96
24
40
0
4) −
20540
15075
5465
5) −
5465
40
5425
б) 256 � 407 – 33 087 : 298 � 104 081;
1) ×
+
256
407
1792
1024
104192
2) −
−
−
33078
298
298
111
327
289
298
298
0
3) −104192
111
104081
434 ����������2002–2011 гг.
578. а) 3
16
5
16
3 5
16
8
16
1
2+ =
+= = ; б)
11
15
8
15
11 8
15
3
15
1
5− =
−= = ;
в) 23
25
18
25
23 18
25
5
25
1
5− =
−= = ; г)
15
28
9
28
15 9
28
24
28
6
7+ =
+= = .
Контрольные задания
1. а) S � (15 � 32) : 2 � 240 (мм2); б) S � (15 � 38) : 2 � 285 (мм2).
§ 33. Свойства углов треугольника
580. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен а�, то второй — (90� – а�).
Тогда острые углы прямоугольного треугольника будут равны: 42� и 90� – 42� � 48�; 87� и 90� – 87� � 3�; 62� и 90� – 62� � 28�; 21� и 90� – 21� � 69�; 51� и 90� – 51� � 39�; 30� и 90� – 30� � 60�; 45� и 90� – 45� � 45�.
Поэтому бîльший острый угол прямоугольного треугольника равен: 48�, 87�, 62�, 69�, 51�, 60�, 45�.
582. �А 28�180� – (40� + + 78�) � 62�
65� 136�
�В 39� 40�180� – (65� + + 25�) � 90�
44�
�С180� – (28� + + 39�) � 113�
78� 25�180� – (136� +
+ 44�) � 0�Вид тупоугольный остроугольный прямоугольный не существует
�А180� – (128� +
+ 54�) � 2�109� 38�
180� – (43� + + 59�) � 78�
�В 128�180� – (109� +
+ 90�) � 62�76� 43�
�С 54� 90�180� – (38� + + 76�) � 66�
59�
Вид тупоугольный остроугольный прямоугольный не существует
583. �А � 70�, �С � 30�, �В � 80� �А + �В + �С � 180�, действительно 70� + 30� + 80� � 180�.
584. �Р � 140�, �K � 23�, �M � 17� �M + �P + �K � 180�, действительно, 140� + 23� + 17� � 180�.
B
CA
M
KP
435��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
585. 180� – 2 � 25� � 180� – 50� � 130�. Ответ: величина третьего угла треугольника равна 130�.586. 1) 180� – 68� � 112� — сумма двух равных углов; 2) 112� : 2 � 56�. Ответ: искомые углы равны по 56�.587. �N — ? в 2 раза <, чем 3 раза <, чем ⎫
⎬⎪
⎭⎪°180 �N — ?
�K — ? Решение. Обозначим �M � x�. тогда �N � 2x�, �K � 3x�. Известно, что �M + �N + �K � 180�. Составим уравнение: x + 2x + 3x � 180; 6x � 180; x � 30. Значит, �M � 30�, �N � 2 � 30� � 60�, �K � 3 � 30� � 90�. Ответ: �M � 30�. �N � 60�, �K � 90�.588. Первый угол — ? в 2 раза <, чем на 28� <, чем ⎫
⎬⎪
⎭⎪°180 Второй угол — ?
Третий угол — ? Решение. 1 способ — арифметический 1) 180� – 28� � 152� — сумма четырех равных углов; 2) 152� : 4 � 38� — величина первого угла — меньшего; 3) 38� � 2 � 76� — величина второго угла; 4) 38� + 28� � 66� — величина третьего угла. Ответ: первый угол равен 38�, второй — 86�, третий — 66�. 2 способ — алгебраический Обозначим первый угол х�, тогда второй — 2х�, третий — (х + 28)�.
Сумма всех углов треугольника 180�, составим уравнение: x + 2x + x + 28 � 180; 4x + 28 � 180; 4x � 180 – 28; 4x � 152; x � 38. При х � 38 2х � 2 � 38 � 76�; при х � 38 х + 28 � 38 + 28 � 66�. Ответ: первый угол равен 38�, второй — 76�, третий — 66�.589. �С � 180� – (�А + �В); �С � 180� – (45� + 70�)
� ��180� – 115� � 65�. Ответ: 65�.
590. �Р � 180� – (80� + 30�) � 180� – 110� � 70�. С данными углами можно начертить бесконечно
много треугольников (их стороны будут различ-ны).
B
CNM
A
45 ° 70 °
NM80 ° 30 °
P
436 ����������2002–2011 гг.
591. а) Если �A � �C � 60�, то �B � 180� – 2 � 60� � 180� – 120� � 60�. Значит, в �АВС все углы по 60�, и все стороны равны.
б) �D � 180� – (55� + 70�) � 55�. Значит, в �CDE углы С и D равны по 55�, и CE � DE.
592. 1) �АВС � 100�; 2) ВА � 6 см, ВС � 4 см; 3) АС; 4) АС � 7 см 8 мм, �А � 30�, �С � 50�; 5) �A + �B + �C � 180�.
593. DE � 5 см, EK � 7 см, �DEK � 70�. Вывод: чтобы построить треугольник по
двум его сторонам и углу между ними, нужно:
1) построить данный угол; 2) на его сторонах отложить отрезки, равные данным сторонам треугольника; 3) соединить полученные на сторонах угла точки отрезком.
594. �BAC + �B + �BCA � 180�; �CAD + �D + �ACD � 180�; �BAC + �DAC � �A; �BCA + �DCA � �C. Поэтому �A + �B + �C + �D � 360�.
CA60 ° 60 °
B
C
A B
EA55 ° 70 °
D
KE70 °
D
7 см
5 см
D
C
B
A
437��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
595. а) 32 � 15 � 32 � (10 + 5) � 32 � 10 + 32 � 5 � 320 + 160 � 480; 48 � 15 � 48 � (10 + 5) � 48 � 10 + 48 � 5 � 480 + 240 � 720; 86 � 15 � (80 + 6) � 15 � 80 � 15 + 6 � 15 � 1200 + 90 � 1290; б) 24 � 250 � (20 + 4) � 250 � 20 � 250 + 4 � 250 � 5000 + 1000 � 6000; 48 � 250 � (40 + 8) � 250 � 40 � 250 + 8 � 250 � 10 000 + 2000 � 12 000; 36 � 250 � (30 + 6) � 250 � 30 � 250 + 6 � 250 � 7500 + 1500 � 9000; в) 1200 : 50 � 24; 1600 : 50 � 32; 4500 : 50 � 90; г) 1600 : 25 � 16 � (100 : 24) � 16 � 4 � 64; 2400 : 25 � 24 � (100 : 25) � 24 � 4 � 96; 1700 : 25 � 17 � (100 : 25) � 17 � 4 � 68.
596. а) 4
152
4 2
15
8
15⋅ =
⋅= ;
4
152
4
15 2
4
30
2
15: ;=
⋅= =
б) 4
153
4 3
15
12
15
4
5⋅ =
⋅= = ;
4
153
4
15 3
4
45: ;=
⋅=
в) 10
217
10 7
21
70
21
10
33
1
3⋅ =
⋅= = = ;
10
217
10
21 7
10
147: .=
⋅=
597. а) 128 � 430 + 675 – 34 125 : 375 + 6795 � 62 419;
1) ×
+
128
430
384
512
55040
2) −
−
34125
3375
375
91
375
375
0
3) +55040
675
55715
4) −
55715
91
55624
5) +55624
6795
62419
б) 712 398 : 3209 – 189 + 15 631 : 203 � 110;
1) −
−
−
712398
6418
3209
222
7059
6418
6418
6418
0
2) −
−
15631
1421
203
77
1421
1421
0
3) −
222
189
33
4) +77
33
110
438 ����������2002–2011 гг.
598.
а) б)
в) г)
599.
а) б)
600. Площадь фигуры на рисунке 1) меньше площадей фигур на рисун-ках 2) и 3); а площади фигур на рисунках 2) и 3) равны.
Равные периметры имеют фигуры на рисунках 1) и 2); периметр фи-гуры на рисунке 3) меньше периметров фигура на рисунках 1) и 2).
601. 1) (60 � 2) : (90 – 60) � 120 : 30 � 4 (ч). Ответ: токарь догонит ученика через 4 ч по количеству изготов-
ленных деталей. 2) (60 � 2) : (90 – 60) � 120 : 30 � 4 (ч). Ответ: автобусу потребуется 4 ч, чтобы догнать грузовик. При решении задач получены одинаковые выражения, значит, ситу-
ации, данные в этих двух задачах, описываются одинаковыми мате-матическими моделями.
439��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
602. а) 3 � (17 – 13) � 3 � 4 � 12 (пл.). Ответ: за три часа работы первая швея обработает на 12 платьев
больше, чем вторая. б) Скорость одного мотоциклиста 17 км/ч, а второй за 1 час проезжа-
ет 13 км. На сколько километров больше преодолеет первый мото-циклист, чем второй за 3 ч?
Контрольные задания
1. �АВС — прямоугольный, �DEF — остроугольный, �MNK — тупоугольный.
2. Сумма углов треугольника равна 180�.3. �A � 180� – (�B + �C) � 180� – (45� + 34�) � 180� – 79� � 101�.
§ 34. Расстояние между двумя точками. Масштаб
604. 1) Описание маршрута Длина маршрута Расстояние
От подъезда Кости до входа в школу
9 см 9 мм � 2000 � ��19 800 см � 198 м
6 см � 2000 � 12 000 см ��� 120 м
От подъезда Насти до входа в школу
8 см 2 мм � 2000 � ��16 400 см � 164 м
5 см 5 мм � 2000 � ��11 000 см � 110 м
От подъезда Кости до подъезда Насти
7 см 5 мм � 2000 � ��15 000 см � 150 м
4 см 7 мм � 2000 � ��9400 см � 94 м
2) В каждом случае длина маршрута больше, чем расстояние.605. 1 способ — арифметический 1) 8 � 15 � 120 (мест) — дополнительные места в 8 автобусах; 2) 360 – 120 � 240 (мест) — в поданых 8 автобусах; 3) 240 : 8 � 30 (мест) — в одном автобусе. Ответ: в каждом из поданых автобусов было по 30 мест. 2 способ — алгебраический Пусть в каждом из поданых автобусов было по х мест. Тогда в каж-
дом автобусе могло быть по (х + 15) мест, а в 8 автобусах вместе — 8 � (х + 15) мест. По условию в таких автобусах могло бы разместить-ся 360 человек. Составим уравнение:
8(x + 15) � 360; x + 15 � 360 : 8; x + 15 � 45; x � 45 – 15; x � 30. Ответ: в каждом из поданых автобусов было по 30 мест.606. 1)
−1872
1440
432
(р.) — разница стоимости сельди в бочонках;
2) −
−
432
36
12
36
72
72
0
(р.) — цена 1 кг сельди;
440 ����������2002–2011 гг.
3) −1440
144
36
40
0
(кг) — масса сельди в одном бочонке;
4) 40 + 12 � 52 (кг) — масса сельди в другом бочонке. Ответ: в первом бочонке — 40 кг сельди, а во втором — 52 кг.607. а) 1) 12 + 6 � 18 (м) — можно было бы купить ткани; 2) 18 � 2 � 36 (р.) — стоят 6 м ткани; 3) 36 : 6 � 6 (р.) — стоит 1 м ткани. Ответ: цена 1 м ткани равняется 6 р. б) (x – 2) р. — новая цена ткани; (12х) р. или 18 � (х – 2) р. Получим уравнение: 12x � 18(x – 2). При x � 6 12x � 12 � 6 � 72 (р.); 18(x – 2) � 18 � (6 – 2) � 18 � 4 � 72 (р.); 72 � 72.
Контрольные задания
Чтобы найти расстояние между двумя точками, нужно провести отрезок прямой с концами в этих точках.
§ 35. Расстояние от точки до прямой. Перпендикулярные прямые
609. Н. 16 � 2 – 32 � 0; К. 18 – 51 : 3 � 18 – 17 � 1; Л. 36 : 2 – 48 : 2 � 18 – 16 � 2; И. 17 � 3 – 24 � 2 � 51 – 48 � 3; Р. 35 � 2 – 7 � 9 � 70 – 63 � 7; Е. (28 + 26) : 6 � 54 : 6 � 9; Д. 14 � 3 – 111 : 3 � 42 – 37 � 5; Я. 103 � 2 – 99 � 2 � 206 – 198 � 8; П. 72 – 17 � 4 � 72 – 68 � 4; У. 16 � 4 – 116 : 2 � 64 – 58 � 6.
4 9 7 4 9 0 5 3 1 6 2 8 7
П Е Р П Е Н Д И К У Л Я Р
610. AD ��a; BE � a.612. AN � AB, AN � 1 см 2 мм; NK � BC, NK � 1 см 4 мм. AN и NK — расстояние от точки N
до сторон угла АВ и ВС соответственно.
B
A
K
N
C
441��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
613. а) KN � AB, KN � 2 см; KM � BC, KM � 2 см. KN — расстояние от точки K до стороны
угла АВ. KM — расстояние от точки K до стороны ВС.
б) Нужно опустить перпендикуляр из этой точки на продолжение луча.
614. 1) AK � a; 2) BD � c.
616. а) 1) 11 � 21 � 231 (р.); 2) 9 � 21 � 189 (р.); 3) 231 – 189 � 42 (р.); 4) 16 – 9 � 7 (р.); 5) 42 : 7 � 6 (кг); 6) 21 – 6 � 15 (кг). Ответ: по цене 16 р. за 1 кг нужно взять 6 кг карамели, а по цене
9 р. за 1 кг — 15 кг. б) 1) 19 � 32 � 288 (р.); 2) 11 р. 40 коп. � 32 � 364 р. 80 коп.; 3) 364 р. 80 коп. – 288 р. � 76 р. 80 коп.; 4) 11 р. 40 коп. – 5 р. � 6 р. 40 коп.; 5) 76 р. 80 коп. : 6 р. 40 коп. � 12 (мотков); 6) 32 – 12 � 20 (мотков). Ответ: было приобретено 12 мотков по цене 5 р. и 20 мотков
по цене 11 р. 40 коп.
617. а) 7
16
1
4
7
16
4
16
7 4
16
11
16+ = + =
+= ;
б) 25
36
2
9
25
36
8
36
25 8
36
17
36− = − =
−= ;
в) 5
7
11
21
15
21
11
21
15 11
21
4
21− = − =
−= ;
г) 1
6
5
18
3
18
5
18
3 5
18
8
18
4
9+ = + =
+= = .
618. 1) 17 � 3000 � 51 000 (л); 2) 51 000 + 20 000 � 71 000 (д); 3) 400 + 800 � 1200 (л); 4) 1200 � 17 � 20 400 (л);
B
A K
N
CM
A
Ka
D
сB
442 ����������2002–2011 гг.
5) 71 000 – 20 000 � 50 600 (л). Ответ: насосы успеют откачать воду из трюма, потому что через
17 мин в нем будет 50 600 л воды, а судно может затонуть, если объ-ем воды в трюме превысит 80 000 л.
Контрольные задания
1. OB � b.2. CK � a.
3. AM � m.
§ 36. Серединный перпендикуляр
619. а) AB > BC; б) AB � BC; в) AB � BC; г) AB � BC.623. 1) 2 � 11 � 22 (ноги); 2) 30 – 22 ��8 (ног); 3) 8 : 2 � 4 (порос.); 4) 11 – 4 � 7 (петух.). Ответ: по тропинке шло 7 петухов и 4 поросенка.624. 10 р. + 10 р. : 2 � 10 р. + 5 р. � 15 р. Ответ: 15 р. стоит книга.625. а) 1 способ — арифметический 1) 115 – 25 � 90 (кг); 2) 90 : 2 � 45 (кг); 3) 45 + 25 � 70 (кг). Ответ: в одном мешке было 45 кг моркови, а в другом — 70 кг. 2 способ — алгебраический Пусть в одном мешке было х кг моркови, тогда в другом
мешке — (х + 25) кг. Так как в двух мешках было 115 кг моркови, составим уравнение:
x + x + 25 � 115; 2x + 25 � 115; 2x � 115 – 25; 2x � 90; x � 90 : 2; x � 45. Пусть х � 45, х + 25 � 45 + 25 � 70 (кг). Ответ: : в одном мешке было 45 кг моркови, а в другом — 70 кг. б) 1 способ — арифметический 1) 98 – 18 � 80 (м); 2) 80 : 2 � 40 (м);
a
C
K
Mm
443��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
3) 40 + 18 � 58 (м). 2 способ — алгебраический Пусть длина части сетки — х м, тогда длина второй части — (х +
+ 18) м. Так как длина всей сетки 98 м, составим уравнение: x + x + 18 � 98; 2x � 98 – 18; 2x � 80; x � 80 : 2; x � 40. При х � 40, 40 + 18 � 58 (м). Ответ: сетку-рабицу разрезали на две части длиной 40 м и 58 м.
626. а) 1
4
3
10
5
20
6
20
5 6
20
11
20+ = + =
+= ;
б) 3
5
1
6
18
30
5
30
13
30− = − = ;
в) 7
10
2
15
21
30
4
30
17
30− = − = ;
г) 5
12
3
8
10
24
9
24
19
24+ = + = .
627. Пусть задуманное число х, тогда по условию задачи составим урав-нение:
3x + 15 � 177; 3x � 177 – 15; 3x � 162; x � 165 : 3; x � 54. Ответ: было задумано число 54.628. Обозначим задуманное число х, тогда по условию задачи составим
уравнение: 2x – 48 � 244; 2x � 244 + 48; 2x � 292; x � 292 : 2; x � 146. Ответ: задумали число 146.629. Обозначим искомое число х, тогда по условию задачи составим урав-
нение: x : 10 + 99 � 126; x : 10 � 126 – 99; x : 10 � 27; x � 27 � 10; x � 270. Ответ: искомое число — 270.630. Пусть во второй фляге было х л молока, тогда в первой — 3х л. По
условию задачи составим уравнение: 3x – 15 – (x + 15) � 0; 3x – 15 – x – 15 � 0; 3x – x – 30 � 0; 2x � 30; x � 15. При х � 15, 3х � 3 � 15 � 45 (л). Ответ: в первой фляге было 45 л молока, а во второй — 15 л.631. 15 коробок по 14 конфет и 14 коробок по 15 конфет.
§ 37. Свойство биссектрисы угла
633. а) Точка О на рис. а) равноудалена от сторон квадра-
та и расположена на биссектрисе его углов (в точке их пересечения).
б) Точка О на рис. б) равноудалена от сторон треугольника и расположена на биссектрисе его угла (т. О — точка пересечения биссект-рис углов треугольника).
O
O
444 ����������2002–2011 гг.
634. Нет.635. Маша и Саша должны стоять внутри этого
треугольника в точке пересечения биссект-рис его углов.
636. 1 способ — алгебраический Пусть гараж стоит х р., тогда стоимость автомобиля — (2х + 97 300) р.
Так как автомобиль и гараж вместе стоят 355 600 р., составим урав-нение:
x + 2x + 97 300 � 355 600; 3x � 355 600 – 97 300; 3x � 258 300; x � 258 300 : 3; x � 86 100. При х � 86 100, 355 600 – х � 355 600 – 86 100 � 269 500 (р.). Ответ: автомобиль стоит 269 500 р. 2 способ — арифметический 1) 355 600 – 97 300 � 258 300 (р.); 2) 258 300 : 3 � 86 100 (р.); 3) 355 600 – 86 100 � 269 500 (р.).637. 1 способ — арифметический 1) 22 – 14 � 8 (м) — разница отрезанных кусов ткани; 2) 8 : 2 � 4 (м) — длина одной из оставшихся частей ткани; 3) 4 + 22 � 26 (м) — первоначальная длина ткани в куске. 2 способ — алгебраический Подставим полученное в 1 способе решение в это уравнение: 26 – 14 � 3 � (26 – 22); 12 � 3 � 4; 12 � 12. Получим верное равенство. Значит, х � 26 является решением дан-
ного уравнения. Ответ: в каждом куске первоначально было 26 м ткани.638. 1 способ — арифметический 1) 112 – 10 � 102 (р.); 2) 102 : 2 � 51 (р.); 3) 51 – 14 � 37 (р.); 4) 112 – 37 � 75 (р.). 2 способ — алгебраический Пусть у старшего брата было х р., тогда у младшего — (112 – х) р.
По условию задачи составим уравнение: x – 14 – 10 � 112 – x + 14; x – 24 � 126 – x. Подставим полученное в 1 способе решение х � 75 в это уравнение: 75 – 24 � 126 – 75; 51 � 51 — верное равенство. Значит, х � 75 — ре-
шение данного уравнения. При х � 75, 112 – 75 � 37 (р.). Ответ: у младшего брата было первоначально 37 р., а у старшего —
75 р.639. 1 способ — арифметический 1) 3560 – 920 � 2640 (т); 2) 2640 : 2 � 1320 (т); 3) 1320 – 60 � 1260 (т);
445��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
4) 3560 – 1260 � 2300 (т). 2 способ — алгебраический Пусть у второго предприятия было х т удобрений, тогда у первого —
(3560 – х) т. По условию задачи составим уравнение: (3560 – x) – 60 � x + 60 + 920; 3500 – x � x + 980. Подставим в это уравнение х � 1260. 3500 – 1260 � 1260 + 980; 2240 � 2240 — верное равенство. Значит, х � 1260 является решением данного уравнения. При х � 1260, 3560 – 1260 � 2300 (т). Ответ: на первом предприятии было 2300 т удобрений первона-
чально, а на втором — 1260 т.
640. а) 24
64
3
8= ; б)
32
64
1
2= .
641. Длина встречного поезда 300 м.
Контрольные задания
1. Точки биссектрисы угла равноудалены от сторон этого угла.2. BD � 4 см, �ABC � 60�, BD — биссектриса
�АВС. DM � AB, DK � BC. DM, DK — расстояние от точки D до
сторон угла. DM � DK � 2 см.
ГЛАВА IV. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
§ 38. Понятие десятичной дроби.Чтение и запись десятичных дробей
643. 34,6 (тридцать четыре целых шесть десятых); 30,46 (тридцать целых шесть сотых); 33, 046 (тридцать три целых сорок шесть тысячных); 0,346 (ноль целых триста сорок шесть тысячных); 0,0346 (ноль целых триста сорок шесть десятитысячных); 30,406 (тридцать целых четыреста шесть тысячных); 0,0046 (ноль целых сорок шесть десятитысячных).
B
A
K
D
C
M
446 ����������2002–2011 гг.
644. Десятки Единицы Десятые Сотые Тысячные Десятитысячные
20,0002 2 0 0 0 0 2
30,7090 3 0 7 0 9 0
82,4 8 2 4
82,40 8 2 4 0
82,400 8 2 4 0 0 0
двадцать целых две десятитысячных; тридцать целых семьсот девять тысячных (или тридцать целых семь
тысяч девяносто десятитысячных); восемьдесят две целые четыре десятых; восемьдесят две целые сорок сотых; восемьдесят две целые четыреста тысячных. Последние три числа равны. Нули, которыми оканчиваются десятичные дроби, можно отбро-
сить.
547. а) обыкновенные дроби: 67
100;
4
10;
38
1000; 5
87
100;
1
3;
4
53;
десятичные дроби: 5,87; 0,5; 0,025; 0,07;
б) обыкновенные дроби: 79
100;
6
10; 78
65
1000;
8
10 000;
3
4;
7
25;
десятичные дроби: 78,056; 0,24; 0,3; 0,005.
648. а) 0 6868
100, ;= 0 03
3
100, ;= 0 206
206
1000, ;=
б) 7 5 75
10, ;= 4 05 4
5
100, ;= 3 64 3
64
100, ;=
в) 0 0077
1000, ;= 0 0021
21
10 000, ;= 0 0005
5
10 000
1
2000, ;= =
г) 45 0471 45471
10 000, ;= 302 0054 302
54
10 000302
27
5000, .= =
649. а) 4
100 4= , ;
78
1000 78= , ;
8
1000 08= , ;
253
10000 253= , ;
б) 52
10000 052= , ;
9
10000 009= , ;
798
10 0000 0798= , ;
45
10 0000 0045= , .
650. а) 68
106 8= , ; 7
49
1007 49= , ; 8
3
1008 03= , ; 52
74
100052 074= , ;
б) 245245
1000245 245= , ; 55
5
100055 005= , ; 65
8752
10 00065 8752= , ;
447��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
в) 26
102
6
102 6= = , ;
798
1007
98
1007 98= = , ;
1547
10001
547
10001 547= = , ;
9605
10009
605
10009 605= = , ;
г) 156
1015
5
1015 6= = , ;
12 408
100124
8
100124 08= = , ;
15 001
100015
1
100015 001= = , ;
28 000
100028= .
652. а) 1
4
1 25
4 25
25
1000 25=
⋅⋅
= = , ;
б) 3
4
3 25
4 25
75
1000 75=
⋅⋅
= = , ;
в) 1
20
1 5
20 5
5
1000 05=
⋅⋅
= = , ;
г) 1
17 нельзя представить в виде десятичной дроби.
653. Пусть ватное одеяло стоит х р., тогда шерстяное — 2х р. По условию задачи составим уравнение:
36 � x + 2x � 32 � 32 000; 36x + 64x � 32 000; 100x � 32 000; x � 32 000 : 100; x � 320. При х � 320, 2х � 2 � 320 � 640 (р.). Ответ: ватное одеяло стоит 320 р., а шерстяное — 640 р.654. Пусть было приобретено х столов, тогда приобрели 4х стульев.
За х столов заплатили (2850 � х) р., а за 4х стульев — (1350 � 4х) р. Так как за всю покупку заплатили 123 750 р., составим уравнение:
1350 � 4x + 2850x � 123 750; 5400x + 2850x � 123 750; 8250x � 123 750; x � 123 750 : 8250; x � 15. При х � 15, 4х � 4 � 15 � 60 (столов). Ответ: было приобретено 15 столов и 60 стульев.655. а) (246 535 + 367 129) : 1208 � 508; 1)
+246535
367129
613664
2) −
−
613664
6040
1208
508
9664
9664
0 б) 917 180 : (4321 – 2805) � 605; 1)
−4321
2805
1516
2) −
−
917180
9096
1516
605
7580
7580
0
448 ����������2002–2011 гг.
в) 805 009 – 608 040 : 563 � 803 929;
1) −
−
608040
563
563
1080
4504
4504
0
2) −
805009
1080
803929
г) 503 440 : 248 + 48 752 � 50 782; 1)
−
−
503440
496
248
2030
744
744
0
2) +
48752
2030
50782
Контрольные задания
1. 6,43 — шесть целых сорок три сотых; сотые — младший разряд дроби; 0,0076 — ноль целых семьдесят шесть десятитысячных; десятитысячные; 35,07 — тридцать пять целых семь сотых; сотые; 0,035 — ноль целых тридцать пять тысячных; тысячные.
2. 6
100 6= , ;
9
10000 009= , .
3. 0 44
10
2
5, ;= = 0 06
6
100
3
50, .= =
§ 39. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д.
656. 3,582 — три целые пятьсот восемьдесят две тысячные; 35,82 — тридцать пять целых восемьдесят две сотые; 3,582 � 10 � 35,82.657. 3,582 — три целые пятьсот восемьдесят две тысячные; 358,2 — триста пятьдесят восемь целых две десятых; 5,7364 — пять целых семь тысяч триста шестьдесят четыре десяти-
тысячных; 5736,4 — пять тысяч семьсот тридцать шесть целых четыре деся-
тых; 0,1954 — ноль целых тысяча девятьсот пятьдесят четыре десятиты-
сячных;
449��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
1954 — тысяча девятьсот пятьдесят четыре. 3,582 � 100 � 358,2; 5,7364 � 1000 � 5736,4; 0,1954 � 10 000 � 1954.658. 176,2 — сто семьдесят шесть целых две десятых; 17,62 — семнадцать целых шестьдесят две сотых; 176,2 : 10 � 17,62.659. 275,2 — двести семьдесят пять целых две десятых; 2,752 — две целых семьсот пятьдесят две тысячных; 205,93 — двести пять целых девяносто три сотых; 2,0593 — две целых пятьсот девяносто три десятитысячных; 6817,3 — шесть тысяч восемьсот семнадцать целых три десятых; 6,8173 — шесть целых восемь тысяч сто семьдесят три десятитысячные. 275,2 : 100 � 2,752; 205,93 : 100 � 2,0593; 6817,3 : 1000 � 6,8173.660. 65,7 � 10 � 657 (р.) — стоимость 10 м ситца; 65,7 � 100 � 6570 (р.) — стоимость 100 м ситца.661. 388 : 10 � 38,8 (р.) — цена 1 кг печенья.662. а) 27,67 � 10 � 267,7; б) 38,6 : 100 � 0,386; в) 0,678 � 1000 � 678; г) 6,32 : 10 000 � 0,000632; д) 23,7 � 100 � 2370; е) 4,72 : 1000 � 0,00472.663. а) 43,26 : 10 � 4,326; б) 36,32 � 100 � 3632; в) 5,009 : 1000 � 0,005009; г) 0,008 � 10 000 � 80; д) 864 : 100 � 8,64; е) 0,02 � 1000 � 20.664. а) 7,42 � 100 � 742; б) 0,35 � 10 � 3,5; в) 941,3 : 1000 � 0,9423; г) 265 039,32 : 10 000 � 26,503932.665. а) 245,3 � 100 � 24530; б) 0,26 : 10 � 0,026; в) 0,427 : 1000 � 0,000427; г) 0,0068 � 10 000 � 68.666. а) x � 48,5 : 10; x � 4,85; б) x � 0,372 : 10; x � 0,0372; в) x � 0,62 : 100; x � 0,0062; г) x � 3267,39 : 1000; x � 3,26739; д) x � 33 : 10; x � 3,3;
е) x � 5 : 100; x = =5
1000 05, .
667. а) x � 26,5 : 100; x � 0,265; б) x � 8,67 : 1000; x � 0,00867; в) x � 0,0045 : 100; x � 0,000045; г) x � 0,34 : 1000; x � 0,00034; д) x � 72 : 1000; x � 0,072; е) x � 0,38 : 10; x � 0,039.668. а) x � 68,23 � 10; x � 682,3; б) x � 0,02 � 10; x � 0,2; в) x � 34,2 � 100; x � 3420; г) x � 0,0047 � 1000; x � 4,7.669. а) x � 5,43 � 100; x � 543; б) x � 0,765 � 100; x � 76,5; в) x � 3,749 � 1000; x � 3749; г) x � 3,6 � 1000; x � 3600.670. 0,059 � 10 � 0,59 (км); — пройдет Ирина за 10 мин; 0,059 � 100 � 5,9 (км) — пройдет Ирина за 100 мин.
450 ����������2002–2011 гг.
671. 0,53 : 10 � 0,053 (м/мин) — скорость движения улитки; 0,53 м � 53 см; 53 : 10 � 5,3 (м/мин).
672. 12
18
2
3= .
673. 1) 1170 : 15 � 78 (км) — проезжает велосипедист ежедневно; 2) 78 : 6 � 13 (км/ч) — скорость велосипедиста; 3) 416 : 4 � 104 (км) — должен проезжать турист за 1 день; 4) 104 : 13 � 8 (ч). Ответ: турист должен проводить в движении по 8 ч в день.674. 1) 45 : 5 � 9 (раз); 2) 337 � 9 � 3033 (дернин). Ответ: для газона необходимо 3033 дернин.
Контрольные задания
1. а) 3,65 � 10� 36.5; б) 23,2 : 100 � 0,0232; в) 7,89 � 10 000 � 78 900; г) 648,25 : 100 � 6,4825.
§ 40. Перевод величин в другие единицы измерения
675. 1) 45 см � 45 � 10 мм � 450 мм; 2,78 см � 2,78 � 10 мм � 27,8 мм; 0,24 дм � 0,24 � 100 мм � 24 мм; 0,046 м � 0,046 � 1000 мм � 46 мм; 2) 0,52 см � 0,52 � 10 мм � 5,2 мм; 85,2 дм � 85,2 � 100 мм � 8520 мм; 77,098 дм � 77,098 � 100 мм � 7709,8 мм; 32,6 м � 32,6 � 1000 мм � 32 600 мм.
676. 1) 1 км � 1000 м; 11
10äì ì= ; 1
1
100ñì ì= ; 1
1
1000ìì ì= ;
2) 3 км � 3 � 1000 м � 3000 м; 7 см � 7 : 100 м � 0,07 м; 6 дм � 6 : 10 м � 0,6 м; 8 мм � 8 : 1000 м � 0,008 м; 3) 4 км � 4 � 1000 м � 4000 м; 8 см � 8 : 100 м � 0,08 м; 6 дм � 6 : 10 � 0,6 м; 5 мм � 5 : 1000 м � 0,005 м; 4) 56 км � 56 � 1000 м � 56 000 м; 56 см � 56 : 100 м � 0,56 м; 12 дм � 12 : 10 м � 1,2 м; 89 мм � 89 : 1000 м � 0,089 м.677. а) 480 км � 480 � 1000 м � 480 000 м; 480 дм � 480 : 10 м � 48 м; 480 м � 480 : 100 м � 4,8 м; 480 мм � 480 : 1000 м � 0,48 м; б) 525 км � 525 � 1000 м � 525 000 м; 525 см � 525 : 100 м � 5,25 м; 525 дм � 525 : 10 м � 52,5 м; 525 мм � 525 : 1000 м � 0,525 м;
451��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
в) 3 км � 3000 м; 3 см � 0,04 м; 3 дм � 0,3 м; 3 мм � 0,003 м; г) 67 км � 67 000 м; 67 см � 0,67 м; 67 дм � 6,7 м; 67 мм � 0,067 м.678. а) 4,2 мм � 0,0042 м; 9,45 м � 0,0054 м; 45,21 дм � 4,521 м; 7,2 км � 7200 м; б) 0,85 см � 0,0085 м; 88,3 дм � 8,83 м; 0,054 км � 54 м; 0,05 мм �
��0,00005 м; в) 21,3 дм � 2,13 м; 0,48 мм � 0,00048 м; 8399,5 см � 83,005 м; 8,08 км � 8080 м; г) 0,087 км � 87 м; 78,32 дм � 7,832 м; 0,2 мм � 0,0002 м; 6,6 см � 0,066 м.679. а) 1 дм 5 см � 15 см � 0,15 м; 7 дм 5 см � 75 см � 0,75 м; 8 см 4 мм � 85 мм � 0,084 м; 7 см 3 мм � 73 мм � 0,073 м; б) 32 см 4 мм � 324 мм � 0,324 м; 2 дм 5 мм � 205 мм � 0,205 м; 67 см 12 мм � 682 мм � 0,682 м; 42 дм 7 мм � 4207 мм � 4,207 м; в) 117 см 5 мм � 1175 мм � 1,175 м; 80 дм 87 мм � 8087 мм � 8,087 м; 95 см 2 мм � 952 мм � 0,952 м; 55 дм 5 мм � 5505 мм � 5,505 м; г) 230 см 7 мм � 2307 мм � 2,307 м; 39 дм 15 мм � 3915 мм � 3,915 м; 2 см 4 мм � 24 мм � 0,024 м; 41 дм 9 мм � 4109 мм � 4,109 м.
680. а) 1 га � 10 000 м2; 11
10 0002 2ñì ì= ; 1
1
1002 2äì ì= ;
11
1 000 0002 2ìì ì= ; 1 км2 � 1 000 000 м2;
б) 3 дм2 � 3 : 100 м2 � 0,03 м2; 9 см2 � 9 : 10 000 м2 � 0,0009 м2; 0,00468 км2 � 0,00468 � 1 000 000 м2 � 4680 м2; 4 мм2 � 4 : 1 000 000 м2 � 0,000004 м2; в) 2,1 а � 2,1 � 100 м2 � 210 м2; 8670 мм2 � 8670 : 1 000 000 м2 � 0,00867 м2; 0,69 дм2 � 0,69 : 100 м2 � 0,0069 м2; 4,8 см2 � 4,8 : 10 000 м2 � 0,00048 м2; г) 0,59 см2 � 0,59 : 10 000 м2 � 0,000059 м2; 0,88 дм2 � 0,88 : 100 м2 � 0,0088 м2; 4,008 га � 4,008 � 10 000 м2 � 40 080 м2; 0,034 мм2 � 0,034 : 1 000 000 м2 � 0,000000034 м2.681. а) 42 дм2 � 42 : 100 м2 � 0,42 м2; 6578 мм2 � 6578 : 1 000 000 м2 � 0,006578 м2; 0,095 км2 � 0,095 � 1 000 000 м2 � 95 000 м2; 63 см2 � 63 : 10 000 м2 � 0,0063 м2; б) 423 мм2 � 423 : 1 000 000 м2 � 0,000423 м2; 2,3 дм2 � 2,3 : 100 м2 � 0,023 м2;
452 ����������2002–2011 гг.
0,045 см2 � 0,045 : 10 000 м2 � 0,0000045 м2; 5,8 км2 � 5,8 � 1 000 000 м2 � 5 800 000 м2; в) 1,008 см2 � 1,008 : 10 000 м2 � 0,0001008 м2; 5,07 дм2 � 5,07 : 100 м2 � 0,0507 м2; 2,5 а � 2,5 � 100 м2 � 250 м2; 8,07 мм2 � 8,07 : 1 000 000 м2 � 0,00000807 м2; г) 0,005 а � 0,005 � 100 м2 � 0,5 м2; 44 га � 44 � 10 000 м2 � 440 000 м2; 0,28 мм2 � 0,28 : 1 000 000 м2 � 0,00000028 м2; 4320 см2 � 4320 : 10 000 м2 � 0,432 м2.682. Пусть карамели с черной смородиной было х кг, тогда карамели
с клубникой — 3х кг, а с малиной — 6х кг. Так как масса карамели всех сортов — 56 кг, составим уравнение:
x + 3x + 6x � 56; 10x � 56; x � 56 : 10; x � 5,6. Ответ: масса карамели с черной смородиной равна 5,6 кг.683. Пусть под овес отведено х га поля, тогда под посевы пшеницы —
4х га, а под просо — 5х га. Так как площадь поля — 365 га, соста-вим уравнение:
x + 5x + 4x � 365; 10x � 365; x � 365 : 10; x � 36,5. Ответ: под посевы овса отведено 36,5 га поля.
684. а) 3
8
1
4
3
8
2
8
5
8+ = + = ;
б) 2
3
1
6
4
6
1
6
3
6
1
2− = − = = ;
в) 7
12
1
2
7
12
6
12
1
12− = − = ;
г) 2
9
2
3
2
9
6
9
8
9+ = + = .
Контрольные задания
1. 2,3 мм � 2,3 : 1000 м � 0,0023 м; 5,04 км � 5,04 � 1000 м � 5040 м.2. 3,6 дм2 � 3,6 : 100 м2 � 0,036 м2; 0,45 га � 0,45 � 10 000 м2 � 4500 м2.
§ 41. Сравнение десятичных дробей
685. 1) 48,326 < 48,5; 2) 651,0786 < 651,098; 3) 52,6 > 52,59.686. а) 35,87 > 35,8695; б) 23,53 � 23,530; в) 60,35 < 60,5; г) 0,1200 � 0,12.687. а) 2,386 < 2,39; б) 43,7 > 43,696; в) 5,09 < 5,1; г) 0,486 < 0,5.688. 0,82; 0,8056; 0,7208; 0,7; 0,387; 0,362; 0,25998; 0,25; 0,216958;
0,00489.
453��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
689. 0,0057; 0,0964; 0,2; 0,205; 0,21; 0,5125; 0,801; 0,81.690. а) 0; 1; 2; б) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; в) 0; г) 0; 1; 2; 3; 4.691. в) 9; б) 0; 1; в) 0; г) от 0 до 9 включительно.692. а) 0,017 < 0,1 б) 0,003 < 0,01; в) 0,01 < 0,08 < 0,1; г) 0,001 < 0,007 < 0,01.693. а) 8,01 < 8,015 < 8,2; б) 10,5 < 10,503 < 10,51; в) 7,2 < 7,24 < 7,3; г) 4,87 < 4,8705 < 4,871.694. АВ � 367 см � 367 : 100 м � 3,67 м; CD � 5698 мм � 5698 : 1000 м � 5,698 м; EF � 79 дм � 79 : 10 м � 7,9 м; GH � 2,8 м. Наибольшую длину имеет отрезок EF.695. а) AK � 3,37 м; BD � 57,2 дм � 57,2 : 10 м � 5,72 м; MK � 167,24 см � 167,24 : 100 м � 1,67245 м; LG � 6318 м � 6318 : 1000 м � 6,318 м. Наименьшую длину имеет отрезок MK. б) MN � 0,0834 м; KL � 83,4 см � 83,4 : 100 м � 0,834 м; ST � 0,834 дм � 0,834 : 10 м � 0,0834 м; PQ � 834 мм � 834 : 1000 м � 0,834 м; MN � ST � 0,0834 м; KL � PQ � 0,834 м.696. а) 2 мг � 2 : 1 000 000 кг � 0,000002 кг; 2 г � 2 : 1000 кг � 0,002 кг; 2 ц � 2 : 100 кг � 200 кг; 2 т � 2 � 1000 кг � 2000 кг; б) 6 г � 6 : 1000 кг � 0,006 кг; 79 г � 79 : 1000 кг � 0,079 кг; 285 г � 285 : 1000 кг � 0,285 кг; в) 8 мг � 8 : 1 000 000 кг � 0,000008 кг; 85 мг � 85 : 1 000 000 кг � 0,000085 кг; 659 мг � 659 : 1 000 000 кг � 0,000659 кг; г) 7,8 т � 7,8 � 1000 кг � 7800 кг; 54 ц � 54 � 100 кг � 5400 кг; 12,03 т � 12,03 � 1000 кг � 12 030 кг.697. а) 2 кг 235 г � 2,235 кг; б) 3 кг 600 г � 3,600 кг � 3,6 кг; в) 20 кг 860 г � 20,860 кг г) 86 кг 44 г 61 мг � 86,044061 кг.698. а) 2,1 г � 2,1 : 1000 кг � 0,0021 кг; б) 0,3604 г � 0,3604 : 1000 кг � 0,0003604 кг; в) 8,9 мг � 8,9 : 1 000 000 кг � 0,0000089 кг; г) 0,035 мг � 0,035 : 1 000 000 кг � 0,000000035 кг.699. 0,776 � 10 � 7,76; 78,34 : 10 � 7,834; 0,00742 � 1000 � 7,42; 759,2 : 100 � 7,592; 0,0736 � 100 � 7,36; 77 : 10 � 7,7.700. а) 26,397 � 26,4; 3,039 � 3,000 � 3; 35,262 � 35,3; 8,132 � 8,1;
299,9999 � 300; б) 76,343 � 76,34; 22,038 � 22,04; 0,685 � 0,69; 0,00098 � 0; 7,008 � 7,01.
454 ����������2002–2011 гг.
701. а) До десятых; б) до сотых; в) до единиц; г) до тысячных; д) до сотых; е) до десятитысячних; ж) до сотых; з) до сотых.702. а) Гребешки — ? в 5 больше, чем } Мидии — ? Жемучижницы — ? столько же, сколько
⎫⎬⎪
⎭⎪444
моллюска
Решение. Пусть в аквариуме было х мидий, тогда гребешков в нем было 5х,
а жемчужниц — (5х + х). Так как всего в аквариуме было 444 моллюска, составим уравнение: 5x + x + 5x + x � 444; 12x � 444; x � 444 : 12; x � 37. Значит, мидий было 17, гребешков: 5 � 37 � 185; жемчужниц: 37 + 185 � 222. Ответ: в аквариуме было 185 гребешков, 37 мидий, 222 жем-
чужницы. б) Обозначим количество купюр х, тогда десятрублевых денежных
знаков было на сумуу 10х р., а пятирублевых — 5х р. Так как все-го денежных знаков было на сумму 525 р., составим уравнение:
10 x + 5x � 525; 15x � 525; x � 525 : 15; x � 35. Итак, десятирублевых денежных знаков было на сумму: 35 � 10 �
��350 (р.), а пятирублевых: 35 � 5 � 175 (р.). Ответ: десятирублевых денежных знаков дали на сумму 350 р.,
а пятирублевых — на сумму 175 р.
Контрольные задания
1. а) 8,9 > 8,53; б) 15,38 < 15,4; в) 3,250 � 3,25.2. а) 3,48 � 3,5; б) 4,319 � 4,3; в) 4,98 � 5.
§ 42. Сложение и вычитание десятичных дробей
703. 1) +24
32
56
+2 4
3 2
5 6
,
,
,
2) +
452
231
683
+4 52
2 31
6 83
,
,
,
3) +
204
378
582
+
0 204
0 378
0 582
,
,
,705. а)
+272 30
34 15
306 45
,
,
,
б) +15 000
8 009
23 009
,
,
,
в) +
0 0078
78 78
78 7878
,
,
,
г) +
42 00
3 08
45 08
,
,
,
д) +
5 934
12 800
18 734
,
,
,
е) +13 10
0 09
13 19
,
,
,
706. а) +
708 51
62 00
770 51
,
,
,
б) +
621 7
54 3
676 0
,
,
,
в) +
99 3300
0 0777
99 4077
,
,
,
455��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
г) +
48 548
259 452
308 000
,
,
,
д) +
47 35
2 65
50 00
,
,
,
е) +
12 70
1 38
14 08
,
,
,707. 8000,7 — наибольшее число, составленное из данных цифр; 0,0078 — наименьшее число, составленное из этих же цифр.
−8000 7000
0 0078
8000 6922
,
,
,
708. 1) −1 16
0 14
1 02
,
,
,
2) −0 43
0 38
0 05
,
,
,
709. I). −15 31
6 15
9 16
,
,
,
−46 37
7 75
38 62
,
,
,
II) −65 70
52 25
13 45
,
,
,
−3 270
0 008
3 262
,
,
,
III) −
82 784
33 600
49 184
,
,
,
−
64 123
38 150
25 973
,
,
,
IV) −72 0
15 6
56 4
,
,
,
−125 00
54 09
70 91
,
,
,
710. а) −
43 57
18 40
25 17
,
,
,
б) −
56 00
12 25
43 75
,
,
,
в) −37 182
5 900
31 282
,
,
,
г) −
0 210
0 184
0 026
,
,
,
д) −
29 435
29 039
0 396
,
,
,
е) −5 00
2 49
2 51
,
,
,
ж) −72 00
3 56
68 44
,
,
,
з) −
0 0200
0 0061
0 0139
,
,
,
и) −15 003
8 740
6 263
,
,
,
711. а) −
52 12
15 30
36 82
,
,
,
б) −135 00
134 93
0 07
,
,
,
в) −
74 38
56 80
17 58
,
,
,
г) −
0 590
0 032
0 558
,
,
,
д) −
2 000
1 827
0 173
,
,
,
е) −
0 170
0 092
0 078
,
,
,
ж) −
34 000
12 084
21 916
,
,
,
з) −
0 700
0 695
0 005
,
,
,
и) −1 400
1 076
0 324
,
,
,
456 ����������2002–2011 гг.
712. а) +
52 960
12 387
65 347
,
,
,
−
52 960
5 079
47 881
,
,
, Ответ: С(47,881); В(65,347). б) АС больше СВ на 2,85; значит, АС � СВ + 2,85. АВ � 21,7 – 12,85 � 8,85;
−21 70
12 85
8 85
,
,
, АС + СВ � АВ. Дальше задачу можно решать двумя способами. I способ — арифметический. 1) 8,85 – 2,85 � 6 — сумма двух равных отрезков; 2) 6 : 2 � 3 — длина СВ; 3) 3 + 2,85 � 5,85 — длина АС. II способ — алгебраический. Пусть ВС � х, тогда АС � х + 2,85. Так как AC + CB � AB, AB � 8,85, составим уравнение: x + 2,85 + x � 8,85; 2x + 2,85 � 8,85; 2x � 8,85 – 2,85; 2x � 6; x � 6 : 2; x � 3. Итак, CB � 3; AC � 3 + 2,85 � 5,85. Ответ: AB � 8,85; AC � 5,85; CB � 3.713. Рассмотрим два случая. 1) Пусть точка С лежит правее точки В на координатном луче.
Тогда: AB � 25,9 – 17,3 � 8,6; BC � 18; AC � AB + BC � 8,6 + 18 � 26,6. Ответ: AB � 8,6; AC � 26,6; BC � 18. 2) Пусть точка С лежит левее точки В на координатном луче.
Тогда: AB � 25,9 – 17,3 � 8,6; BC � 18; AC � BC – AB � 18 – 8,6 � 9,4. Ответ: AB � 8,6; AC � 9,4; BC � 18.714. а) 0,37 � 2 – 1,63; б) 0,64 � 1 – 0,36; в) 2,05 � 5 – 2,95; г) 4,368 � 7 – 2,632.715. 8322,2 — наибольшее число, составленное из данных цифр; 2,2238 — наименьшее число, составленное из данных цифр.
+8322 2000
2 2238
8324 4238
,
,
,
−
8322 2000
2 2238
8319 9762
,
,
, Если каждое из записанных чисел увеличить в 10 раз, то результа-
ты сложения и вычитания увеличатся в 10 раз, а если каждое из за-писанных чисел уменьшить в 10 раз, то эти результаты уменьшать-ся в 10 раз.
C A BO
0
CA BO
0
CA BO
018
C A BO
018
457��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
716. а) 3,8 � 10 + 3,8 � 100 + 3,8 � 1000 � 38 + 380 + 3800 � 4218;
+
3800
380
38
4218
б) 4,7 : 10 + 4,7 : 100 – 4,7 : 1000 � 0,47 + 0,047 – 0,0047 � 0,5123;
+0 470
0 047
0 517
,
,
,
−
0 5170
0 0047
0 5123
,
,
,
в) 25,22 � 10 + 186,354 � 100 – 16,7 � 10 � 252,2 + 18635,4 – 167 � 18720,6;
+18653 4
252 2
18887 6
,
,
,
+18887 6
167 0
18720 6
,
,
,
г) 79,504 : 10 + 0,2534 � 100 � 0,92038 � 10 � 7,9504 + 25,34 – 9,2038 ��� 24,0866;
+25 3400
7 2904
33 2904
,
,
,
−
33 2904
9 2038
24 0866
,
,
,
719. 45 дм � 45 : 10 м � 4,5 м; 2 � (5,5 + 4,5) � 2 � 10 � 20 (м). Ответ: периметр изгороди равен 20 м.720. 350 мм � 350 : 1000 м � 0,35 м; 2 � (1,25 + 0,35) � 2 � 1,6 � 3,2 (м). Ответ: периметр полки равен 3,2 м.721. 54 см � 54 : 100 м � 0,54 м;
1) +
2 30
0 54
1 76
,
,
, ( )ì
2) +
2 30
1 76
4 06
,
,
, ( )ì
3) +
4 06
4 06
8 12
,
,
, ( )ì Ответ: периметр ковра равен 8,12 м.722. а) 4,45 � 10 + 844 : 100 – 35,7 : 1000 + 509,432 : 10 � 44,5 + 8,44 –
– 0,0357 + 50,9432 � 103,8475;
+
44 50
8 44
52 94
,
,
,
−
52 9400
0 0357
52 9043
,
,
,
+
52 9043
50 9432
103 8475
,
,
, б) 59,9997 � 100 + 685826,1 : 1000 + 3,7672 � 100 � 5999,97 +
+ 685,8261 + 376,72 � 7062,5161;
+
5999 9700
685 8261
6685 7961
,
,
,
+
6685 7961
376 7200
7062 5161
,
,
,
458 ����������2002–2011 гг.
723. а) 2,2 м � 2,2 � 100 м � 220 см; 3 см + 15 см < 220 см; значит, треугольник с данными сторонами
не существует; б) 65,5 см � 65,5 : 100 м � 0,655 м; 21,5 м + 0,655 м < 45,15 м; значит, треугольник с данными
сторонами не существует; в) 7,01 м � 7,01 � 10 дм � 70,1 дм; 34,2 дм + 35,9 дм � 70,1 дм;
+34 2
35 9
70 1
,
,
, Значит, треугольник с данными сторонами не существует; г) 0,2 м � 0,2 � 1000 мм � 200 мм; 85 мм + 253,7 мм > 200 мм; 200 мм + 253,7 мм > 85 мм; 85 мм + 200 мм > 253,7 мм. Так как все три вышеописанные условия выполняются, то треу-
гольник с данными сторонами существует. Р � 85 мм + 200 мм + 253,7 мм � 538,7 мм.
+253 7
200 0
85 0
538 7
,
,
,
,
724. 800 г � 800 : 1000 кг � 0,8 кг.
+1 5
1 2
0 8
3 5
,
,
,
, ( )êã Ответ: вес покупки Саши равен 3,5 кг; значит, в пластиковом па-
кете, рассчитанном на 3 кг, он покупку унести не сможет.725. 1) 50 � 2 � 100 (кг); 2)
+
81 0
74 7
37 2
46 0
238 9
,
,
,
,
, ( )êã 3) 100 + 238,9 � 338,9 (кг); 4) 0,4 т � 0,4 � 1000 кг � 400 кг; 338,9 кг < 400 кг. Ответ: в багажник автомобиля можно положить 2 мешка моркови.726.
+14 10
2 25
1 40
17 75
,
,
,
, ( )ì Ответ: длина сваи 17,75 м.
459��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
727. Пусть меньшее из двух чисел — х, тогда большее — 9х. Так как сум-ма двух чисел равна 43,862; составим уравнение: x + 9x � 43,862; 10x � 43,862; x � 43,862 : 10; x � 4,3862.
Значит, меньшее число — 4,3862; а бîльшее: 43,862 – 4,3862 � ��39,4758;
−
43 8620
4 3862
39 4758
,
,
, Ответ: искомые числа равны 4,3862 и 39,4758.728. Пусть меньшее из двух данных чисел равно х, тогда бîльшее — 99х.
Так как их сумма равна 91,964, составим уравнение: x + 99x � ��91,964; 100x � 91,964; x � 91,964 : 100; x � 0,91964.
Значит, меньшее число — 0,91964; а большее: −
91 96400
0 91964
91 04436
,
,
,
Ответ: искомые числа равны 0,91964 и 91,04436.729. а) 9x; 99x; б) x + 9x; x + 99x; x + 9x � 43,862 (решение уравнения смотри в № 727); x + 99x � 91,964 (решение уравнения смотри в № 728).730. 1) 11 – 1 � 10; 2) 9,045 : 10 � 0,9045 — меньшее число; 3)
+9 0450
0 9045
9 9495
,
,
,
— большее число.
Ответ: искомые числа равны 0,9045 и 9,9495.731. 1) 101 – 1 � 100; 2) 634,28 : 100 � 6,3428 — меньшее число; 3)
+634 2800
6 3428
640 6228
,
,
,
— большее число.
Ответ: искомые числа равны 6,3428 и 640,6228.732. а) 11x; 101x; б) 11x – x; 101x – x; к № 730: 11x – x � 9,045; 10x � 9,045; x � 9,045 : 10; x � 0,9045; к № 731: 101x – x � 634,28; 100x � 634,28; x � 634,28 : 100; x � 6,3428.733. а) В этой группе уравнений находится неизвестное слагаемое. x + 5,032 � 27,2; x � 27,2 – 5,032;
−27 200
5 032
22 168
,
,
, x � 22,168;
460 ����������2002–2011 гг.
x + 29,17 � 13,4; x � 13,4 – 29,17; нельзя решить (ошибка в условии)
52 + x � 78,035; x � 78,035 – 52; x � 26,035. б) в этой группе уравнений х — неизвестное уменьшаемое. x – 93,1 � 79,01; x � 79,01 + 93,1; x � 172,11;
+79 01
93 10
172 11
,
,
, x – 42,12 � 90; x � 90 + 43,12; x � 133,12; x – 42,16 � 69,2; x � 69,2 + 42,16; x � 111,36.
+69 20
42 16
111 36
,
,
, в) в этой группе уравнений х — неизвестное вычитаемое. 48,5 – x � 37,1; x � 48,5 – 37,1; x � 11,4; 55,05 – x � 33,9; x � 55,05 – 33,9; x � 21,15;
−55 05
33 90
21 15
,
,
, 22,99 – x � 17,3; x � 22,99 – 17,3; x � 5,69.
−22 99
17 30
5 69
,
,
,
725. 1)
+50 12
10 08
35 90
96 10
,
,
,
,
(кг) — продали за три дня;
2) +160 3
96 1
256 4
,
,
, ( )êã
3) −
267 4
256 4
11 0
,
,
, ( )êã
Ответ: масса пустого контейнера равна 11 кг.
461��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
736. 1) −
61 50
10 06
51 44
,
,
,
(м) — длина крайнего пролета;
2) +
51 44
52 44
102 88
,
,
,
(м) — сумма длин крайних пролетов;
3)
+61 5
61 5
61 5
184 5
,
,
,
,
(м) — сумма длин средних пролетов;
4) +184 50
102 88
287 38
,
,
, ( )ì Ответ: длина моста равна 287,38 м.737.
+0 25
4 13
4 38
,
,
,
+
4 56
0 80
3 76
,
,
,
−7 30
3 28
4 02
,
,
,
+15 20
3 86
19 06
,
,
,
19,06 4,38 4,02 3,76
Р О М Б
Синие четырехугольники называются ромбами. У ромба все стороны равны.738. (17,03 – 12,5) + 6,3 � 10,83.
−17 03
12 50
4 53
,
,
,
+
4 53
6 30
10 83
,
,
, Ответ: искомое число равно 10,83.739. 18,6 – (33,5 – 22,68) � 7,78.
−33 50
22 68
10 82
,
,
,
−18 60
10 82
7 78
,
,
, Ответ: искомое число равно 7,78.740. (15 – 14) � (12,4 – 4,92) � 1 � 7,489 � 7,48 (км).
−12 40
4 92
7 48
,
,
, Ответ: искомое расстояние равно 7,48 км.741. (15 261,4 – 5781,35) – 5781,35 � 3698,7 (р.).
−15261 40
5881 35
9480 05
,
,
,
−
9480 05
5781 35
3698 70
,
,
, Ответ: во второй день было выручено на 3698,7 р. больше, чем
в первый.
462 ����������2002–2011 гг.
742. 2215 г � 2215 : 1000 кг � 2,215 кг; (64,85 + 32,75 + 2,1) – 2,215 � 97,485 (кг).
+64 85
32 75
2 10
99 70
,
,
,
,
−99 700
2 215
97 485
,
,
,
Ответ: масса полученной латуни равна 97,485 кг.743. 1750 кг � 1750 : 1000 т � 1,75 т; 4,25 + (4,25 – 1,75) + (4,25 + (4,25 – 1,75) – 2,39) � 11,11 (т).
−4 25
1 75
2 50
,
,
,
+
4 25
2 50
6 75
,
,
,
−
6 75
2 39
4 36
,
,
,
+
6 75
4 36
11 11
,
,
, Ответ: за три дня было израсходовано 11,11 т муки.744. 74,8 – (31,45 + 31,45 : 10 + (31,45 – 6,78)) � 15,535 (м). 1) 31,45 : 10 � 3,145; 2)
−31 45
6 78
24 67
,
,
,
3) +
31 450
3 145
24 670
59 265
,
,
,
,
4) −74 800
59 265
15 535
,
,
,
Ответ: в мотке осталось 15,535 м шпагата.745. �ACB � �ADB � 90�, то есть углы, опирающиеся
на диаметр окружности — прямые (если верши-ны этих углов лежат на окружности).
746. �ABC — острый; �ABD — прямой (AD — диаметр); �ABE — тупой.
747. Нужно сложить полученный круг дважды пополам (смотри пунктирные линии).
Тогда точка пересечения диаметров — центр круга.
748. а) Площадь уменьшится в 2 раза; б) площадь уменьшится в 4 раза; в) площадь уменьшится в 10 раз; г) площадь уменьшится в 100 раз.
C D
BAO
C D
BA
E
O
463��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
749. +
1 0500
0 0024
1 0524
,
,
,
−
79 261
68 150
11 111
,
,
,
+
15 324
28 700
44 024
,
,
,
−
1 0500
0 0024
1 0476
,
,
,
−
210 600
8 926
201 674
,
,
,
−
43 521
5 700
37 821
,
,
,
+28 163
21 840
50 003
,
,
,
+17 305
4 590
21 895
,
,
,
21
,89
5
11
,11
1
1,0
47
6
11
,11
1
44
,02
4
44
,02
4
20
1,6
74
44
,02
4
1,0
52
4
37
,82
1
1,0
47
6
11
,11
1
50
,00
3
50
,00
3
П А Р А Л Л Е Л О Г Р А М М
Контрольное задание
� �A + �B + �C � 180�; �C � 180� – (�A + �B); �C � 180� – (60,25� + + 72,87�) � 46,88�.
+
60 25
72 87
133 12
,
,
,
−180 00
133 12
46 88
,
,
,
§ 43. Умножение десятичных дробей
750. 1) 1,2 � 47 � 56,4; 2) 1,2 � 4 � 5,64; 3) 1,2 � 0,47 � 5,64; 4) 0,12 � 47 � 5,64; 5) 0,12 � 4,7 � 0,564; 6) 0,012 � 47 � 0,564.751. 13 � 4 � 52; 16 � 3 � 48; 1,3 � 4 � 5,2; 16 � 0,3 � 4,8; 0,13 � 4 � 0,52; 1,6 � 3 � 4,8; 13 � 0,4 � 5,2; 16 � 0,03 � 0,48; 13 � 0,04 � 0,52; 1,6 � 0,2 � 0,48; 1,3 � 0,04 � 0,52; 1,6 � 0,03 � 0,048; 1,3 � 0,04 � 0,052; 0,16 � 3 � 0,48; 0,13 � 0,4 � 0,052; 0,16 � 0,3 � 0,048; 0,13 � 0,04 � 0,0052; 0,16 � 0,03 � 0,0048;
15 � 6 � 90; 0,15 � 6 � 0,9; 1,5 � 0,006 � 0,0090 � 0,009; 0,015 � 0,06 � 0,0090 � 0,009; 0,015 � 6 � 0,090 � 0,9; 0,015 � 0,06 � 0,00090 � 0,0009; 0,15 � 0,006 � 0,00090 � 0,0009; 0,00015 � 6 � 0,00090 � 0,0009; 15 � 0,0006 � 0,0090 � 0,0009.
464 ����������2002–2011 гг.
752. 1) ×
+
356
34
1424
1068
12104
2) ×
+
1073
81
1073
8584
86913
3) ×
+
625
74
2500
4375
46250 3,56 � 3,4 � 12,104; 1,073 � 8,1 � 8,6913; 0,074 � 6,25 � 0,46250 �
� 0,4625.753. а)
×
+
31 54
32
6308
9462
1009 28
,
,
б) ×
+
3 245
61
3245
19470
197 945
,
,
в) ×
+
44 44
3 005
22220
13332
133 54220
,
,
,
г) ×
+
60 5
4 8
4840
2420
290 40
,
,
,
133,54200 � 133,5422; 290,40 � 290,4.754. а)
×
+
71 7
9 01
717
6453
646 017
,
,
,
б) ×
2 3456789
0 3
0 70370367
,
,
,
в) ×
+
21 004
6 5
105020
126024
136 5260
,
,
,
г) ×
+
45 34
20 01
4534
9068
907 2534
,
,
,
136,5260 � 136,526. 1 3 2 4755. а) 13,3456789 � 3 + 99,7654321 � 3 + 766,666667 � 1106; 1)
×13 3456789
3
40 0370367
,
,
2) ×
99 654321
3
299 2962963
,
, 3)
+40 0370367
299 2622963
339 3333330
,
,
,
4) +
339 333333
766 666667
1106 000000
,
,
,
1 5 2 6 3 7 4 б) 7,6 � 0,25 + 290 : 100 + 25,8 � 0,5 – 420 � 0,03 � 15,1; 1)
×
+
7 6
0 25
380
152
1 900
,
,
,
2) 290 : 100 � 2,9; 3) ×
25 8
0 5
12 90
,
,
,
4) ×420
0 03
12 60
,
,
5) +
1 9
12 9
14 8
,
,
,
6) +14 8
12 9
27 7
,
,
,
7) −
27 7
12 6
15 1
,
,
, В условии этого задания опечатка: если в 5) действии будет стоять
знак минус, то пример решить нельзя).
465��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
1 5 2 6 3 7 4 в) 5700 � 0,105 – 87 � 1,7 + 8009 : 1000 – 8009 � 0,001 � 450,6;
1) ×
+
0 105
5700
735
525
598 500
,
,
2) ×
+
87
1 7
609
87
147 9
,
,
3) 8009 : 1000 � 8,009;
4) ×
8009
0 001
8 009
,
,
5) −
598 5
147 8
450 6
,
,
,
6) +
450 600
8 009
458 609
,
,
,
7) −
458 609
8 009
450 600
,
,
,
1 5 2 6 3 7 4
г) 5867 : 100 + 78,55 � 2,08 + 51,09 � 3,4 – 586,7 � 0,1 � 337,09;
1) 5867 : 100 � 58,67; 2) ×
+
78 55
2 08
62840
15710
163 3840
,
,
,
3) ×
+
51 09
3 4
20436
15327
173 706
,
,
,
4) ×586 7
0 1
58 67
,
,
,
5) +163 384
58 670
222 054
,
,
,
6) +222 054
173 706
395 760
,
,
,
7) −395 76
58 67
337 09
,
,
,
756. а) 27,3 � 0,5 � 2 � 27,3 � 1 � 27,3;
б) 0,25 � 53,34 � 4 � (0,25 � 4) � 53,34 � 1 � 53,34 � 53,34;
в) (2,5 � 0,4) � (50 � 0,02) � 1 � 1 � 1;
г) 44,81 � (125 � 0,08) � 44,81 � 10 � 448,1.
757. а) 5 � 79,23 � 0,2 � 79,23 � (5 � 0,2) � 79,23 � 1 � 79,23;
б) 72,3 � (0,25 � 0,4) � 72,3 � 0,1 � 7,23;
в) 1,25 � 500 � 0,2 � 0,08 � (1,25 � 0,08) � (500 � 0,2) � 0,1 � 100 � 10;
г) 579 � (5 � 0,002) � 579 � 0,01 � 5,79.
758. а) 0,125 � 6,53 � 8 � (0,125 � 8) � 6,53 � 1 � 6,53 � 6,53;
б) 28,25 � (0,8 � 12,5) � 28,25 � 10 � 282,5;
в) 125 � 0,2 � 16,79 � 0,4 � 125 � (0,2 � 0,4) � 16,79 � 125 � 0,08 � 16,79 �
��10 � 16,79 � 167,9;
г) 28,81 � (0,25 � 0,4) � 28,81 � 0,1 � 2,881.
759. а) 72,58 � 0,1 � 7,258; б) 72,58 � 0,01 � 0,7258;
72,58 : 10 � 7,258; 72,58 : 100 � 0,7258;
в) 72,58 � 0,001 � 0,07258; г) 72,58 � 0,0001 � 0,007258;
72,58 : 1000 � 0,07258; 72,58 : 10 000 � 0,007258.
466 ����������2002–2011 гг.
1 3 2760. а) 0,07 � 100 � 0,23 + 0,25 � 16,5 � 7 � 0,23 + 0,25 � 16,5 � 5,735; 1)
×0 23
7
1 61
,
,
2) ×
+
16 5
0 25
825
330
4 125
,
,
,
3) +
4 125
1 610
5 735
,
,
,
1 3 2 б) 3,75 � 2,05 + 0,05 � 30,48 � 9,2115; 1) ×
+
3 75
2 05
1875
750
7 6875
,
,
,
2) ×
30 48
0 05
1 5240
,
,
,
3) +7 6875
1 5240
9 2115
,
,
,
1 3 2 в) 135,2 � 2,02 – 46,002 � 2,9 � 139,6982; 1)
×
+
135 2
2 02
2704
2704
273 104
,
,
,
2) ×
+
46 002
2 9
414018
92004
133 4058
,
,
,
3) −273 1040
133 4058
139 6982
,
,
,
1 3 2 г) 71,2 � 0,201 – 6,6 � 2,01 � 1,0452; 1) ×
+
71 2
0 201
712
1424
14 3112
,
,
,
2) ×
+
2 01
6 6
1206
1206
13 266
,
,
,
3) −14 3112
13 2660
1 0452
,
,
,
1 3 2 д) 7,5 � 0,4 + 3,2 � 0,17 � 3,544; 1)
×7 5
0 4
3 00
,
,
,
2) ×
+
3 2
0 17
224
32
0 544
,
,
,
3) +
3 000
0 544
3 544
,
,
,
1 3 2 е) 4,28 � 0,2 – 1,7 � 0,3 � 0,346; 1) ×
4 28
0 2
0 856
,
,
,
2) ×
1 7
0 3
0 51
,
,
,
3) −
0 856
0 510
0 346
,
,
,
467��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
1 3 2 ж) 0,8 � 3,15 + 0,18 � 3,6 � 3,168; 1)
×3 15
0 8
2 520
,
,
,
2) ×
+
0 18
3 6
108
54
0 648
,
,
,
3) +2 520
0 648
3 168
,
,
,
1 3 2 з) 7,1 � 1,3 – 0,19 � 5,02 � 8,2762;
1) ×
+
7 1
1 3
213
71
9 23
,
,
,
2) ×
+
5 02
0 19
4518
502
0 9538
,
,
,
3) −
9 2300
0 9538
8 2762
,
,
,
1 3 2 4761. а) (62 – 14,8) � (34 – 0,175) – 961,9196 � 634,6204; 1)
−62 0
14 8
47 2
,
,
,
2) −
34 000
0 175
33 825
,
,
,
3) ×
+
33 825
47 2
67650
236775
135300
1596 5400
,
,
,
4) −1596 5400
961 9196
634 6204
,
,
,
2 1 3 б) 32,05 � (28,03 + 11,5) – 1266,9365 � 0; 1)
+28 03
11 50
39 53
,
,
,
2) ×
+
39 53
32 05
19765
7906
11859
1266 9365
,
,
,
3) 1266,9365 – 1266,9365 � 0;
1 3 2 в) 3,324 � 052 � 100 – 8,9 � 0,32 � 3,324 � 52 – 8,9 � 0,32 � 170;
1) ×
+
3 324
52
6648
16620
172 848
,
,
2) ×
+
8 9
0 32
178
267
2 848
,
,
,
3) −172 848
2 848
170 000
,
,
,
468 ����������2002–2011 гг.
1 3 2 г) (4,99 – 0,88) � (5,131 + 4,369) � 39,045; 1)
−4 99
0 88
4 11
,
,
,
2) +
5 131
4 369
9 500
,
,
,
3) ×
+
4 11
9 5
2055
3699
39 045
,
,
,
764. 1) 0,8 � 1,25 � 1,000 � 1; 2) 2,5 � 0,4 � 1,00 � 1;
3) ×
+
6 25
0 16
3750
625
1 0000
,
,
,
4) ×
+
3 125
0 32
6250
9375
1 00000
,
,
,
1,0000 � 1; 1,00000 � 1;
5) ×
+
0 15625
6 4
62500
93750
1 000000
,
,
,
6) ×
+
0 78125
1 28
625000
156250
78125
1 0000000
,
,
,
1,000000 � 1; 1,0000000 � 1.765. 1)
−42 80
4 78
38 02
,
,
,
(р.) — цена одного метра шелка;
2) ×
+
42 8
9 75
2140
2996
3852
417 300
,
,
,
(р.) — стоит атлас;
3) ×
+
38 02
10 5
19010
3802
399 210
,
,
,
(р.) — стоит шелк;
469��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
4) +
417 30
399 21
816 51
,
,
,
(р.) — стоит вся покупка.
816,51 < 900. Ответ: хватит 900 р. на покупку тканей.
766. 1)
+27 4
25 8
13 7
66 9
,
,
,
,
(м) — длина всех коридоров;
2) ×14 6
2
29 2
,
, ( )ì
3) ×12 6
2
25 2
,
, ( )ì
4) +
29 2
25 2
54 4
,
,
,
(м) — длина дорожки;
5) −66 9
54 4
12 5
,
,
, ( )ì
Ответ: не хватит 12,5 м дорожки для коридоров.
767. 1) −
65 4
10 8
54 6
,
,
,
(км/ч) — скорость второго грузовика;
2) +
65 4
54 6
120 0
,
,
,
(км/ч) — общая скорость грузовиков;
3) ×
120
0 9
108 0
,
,
(км).
Ответ: расстояние между городами равно 108 км.
768. 1) −
0 0350
0 0285
0 0065
,
,
,
(км/ч) — разность скоростей ракет;
2) ×
0 0065
2
0 0130
,
, ( )êì
0,013 км � 0,013 � 1000 м � 13 м.
Ответ: через 2 с после старта вторая ракета отстанет от первой на 13 м.
470 ����������2002–2011 гг.
Контрольные задания
а) ×
+
8 41
16
5046
841
134 56
,
,
б) ×
2 34
0 7
1 638
,
,
,
в) 15,3 � 0,01 � 0,153; г) 0,048 � 0,001 � 0,000048.
§ 44. Степень числа
769. 2) а) 53 > 5 � 3; б) 82 > 8 � 2; в) 45 > 4 � 5; г) 17 < 1 � 7.771. а) 142 � 14 � 14 � 196; б) 272 � 27 � 27 � 729;
×
+
14
14
56
14
196
×
+
27
27
189
54
729
в) 252 � 25 � 25 � 625; г) 362 � 36 � 36 � 1296;
×
+
25
25
125
50
625
×
+
36
36
216
108
1296
772. а) 2,53 � 2,5 � 2,5 � 2,5 � 6,25 � 2,5 � 15,625;
×
+
6 25
2 5
3125
1250
15 625
,
,
, б) 0,84 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � 0,8 � (0,8 � 0,8) � (0,8 � 0,8) � 0,64 � 0,64 � 0,4096;
×
+
0 64
0 64
256
384
0 4096
,
,
,
471��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
в) 3,12 � 3,1 � 3,1 � 9,61; г) 0,25 � 0,2 � 0,2 � 0,2 � 0,2 � 0,2 � 0,00032;
×
+
3 1
3 1
31
93
9 61
,
,
,
773. а) 0,14 � 0,1 � 0,1 � 0,1 � 0,1 � 0,0001; б) 0,033 � 0,03 � 0,03 � 0,03 � 0,000027; в) 0,5042 � 0,504 � 0,504 � 0,254016;
×
+
0 504
0 504
2016
2520
0 254016
,
,
,
г) 0,045 � 0,04 � 0,04 � 0,04 � 0,04 � 0,04 � 0,0000001024;
×
+
0 000064
0 0016
384
64
0 0000001024
,
,
,
1 3 2774. а) 1,152 – 0,122 � 1,15 � 1,15 – 0,12 � 0,12 � 1,3081;
1) ×
+
1 15
1 15
575
115
115
1 3225
,
,
,
2) ×
+
0 12
0 12
24
12
0 0144
,
,
,
3) −
1 3225
0 0144
1 3081
,
,
,
(1,15 – 0,12)2 � 1,0609;
1) −
1 15
0 12
1 03
,
,
,
2) 1,032 � 1,03 � 1,03 � 1,0609; ×
+
1 03
1 03
309
103
1 0609
,
,
,
(1,15 – 0,12) � (1,5 + 0,12) � 1,3081;
472 ����������2002–2011 гг.
1) −
1 15
0 12
1 03
,
,
,
2) +1 15
0 12
1 27
,
,
,
3) ×
+
1 27
1 03
381
127
1 3081
,
,
,
Значение первого и третьего выражений равны. б) (7,6 – 0,54)2 � 49,8436; 1)
−7 60
0 54
7 06
,
,
,
2) 7,062 � 7,06 � 7,06 � 49,8436; ×
+
7 06
7 06
4236
4942
49 8436
,
,
,
7,62 – 2 � 7,6 � 0,54 + 0,542 � 49,8436; 1) ×
+
7 6
7 6
456
532
57 76
,
,
,
2) ×
+
0 54
0 54
216
216
0 2916
,
,
,
3) 2 � 7,6 � 15,2;
4) ×
+
15 2
0 54
608
760
8 208
,
,
,
5) −
57 760
8 208
49 552
,
,
,
6) +
49 5520
0 2916
49 8436
,
,
,
Значения первого и второго выражений равны. (7,6 – 0,54) � (7,6 + 0,54) � 57,4684; 1)
−7 60
0 54
7 06
,
,
,
2) +7 60
0 54
8 14
,
,
,
3) ×
+
8 14
7 06
4884
5698
57 4684
,
,
,
775. а) При а � 1,4; b � 0,7 a2 + b2 � 1,42 + 0,72 � 2,45; 1)
×
+
14
14
56
14
1 96,
2) 0,72 � 0,7 � 0,7 � 0,49; 3) +
1 96
0 49
2 45
,
,
,
473��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
б) При а � 1,4; b � 0,7 (a + b)2 � (1,4 + 0,7)2 � 2,12� 4,41;
×
+
2 1
2 121
424 41
,
,
, в) При а � 1,4; b � 0,7 a2 + 2ab + b2 � 1,42 + 2 � 1,4 � 0,7 + 0,72 � 1,96 +
+ 1,4 � 1,4 + 0,49 � 1,96 + 1,96 + 0,49 � 4,41;
+1 96
1 96
0 494 41
,
,
,,
г) При а � 1,4; b � 0,7 a2 – 2ab + b2 � 1,42 – 2 � 1,4 � 0,7 + 0,72 � 1,96 – – 1,96 + 0,49 � 0,49.
Равны значения выражений б) и в).776. а) При а � 23,2: b � 4,2 a2 – b2 � 23,22 – 4,22 � 520,6; 1)
×
+
23 2
23 2
464
696
464
538 24
,
,
,
2) ×
+
4 2
4 2
84
168
17 64
,
,
,
3) −538 24
17 64
520 60
,
,
,
б) При а � 23,2: b � 4,2 (a – b)2 � (23,2 – 4,2)2 � 192 � 361; ×
+
19
19171
19361
в) При а � 23,2: b � 4,2 a2 – 2ab + b2 � 23,22 – 2 � 23,2 � 4,2 + 4,22 � ��528,24 – 46,4 � 4,2 + 17,64 � 361;
1) ×
+
46 4
4 2
928
1856
194 88
,
,
,
2) −
538 24
194 88
343 36
,
,
,
3) +
343 36
17 64
361 00
,
,
,
г) При а � 23,2: b � 4,2 a2 + 2ab + b2 � 23,22 + 2 � 23,2 � 4,2 + 4,22 � ��538,24 + 194,88 + 17,64 � 750,76;
+538 24
194 88
17 64
750 76
,
,
,
, Равны значения выражений б) и в).
474 ����������2002–2011 гг.
777. а) При а � 9,6; b � 2,4 a2 – b2 � 9,62 – 2,42 � 86,4; 1)
×
+
9 6
9 6576
86492 16
,
,
,
2) ×
+
2 4
2 496
485 76
,
,
,
3) −
92 16
5 76
86 40
,
,
,
б) При а � 9,6; b � 2,4 (a – b)2 � (9,6 – 2,4)2 � 7,22 � 51,84;
×
+
7 2
7 2144
50451 84
,
,
, в) При а � 9,6; b � 2,4 (a – b) � (a + b) � (9,6 – 2,4) � (9,6 + 2,4) �
��7,2 � 12 � 86,4;
×
+
7 2
12144
7286 4
,
,
г) При а � 9,6; b � 2,4 (a + b)2 � (9,6 + 2,4)2 � 122 � 144. Равны значения выражений а) и в).778. а) При а � 3,5; b � 0,42 a2 – b2 � 3,52 – 0,422 � 12,0736; 1)
×
+
3 5
3 5175
10512 25
,
,
,
2) ×
+
0 42
0 4284
1680 1764
,
,
,
3) −
12 2500
0 1764
12 0736
,
,
,
б) При а � 3,5; b � 0,42 (a – b)(a + b) � (3,5 – 0,42) � (3,5 + 0,42) � 12,0736; 1)
−3 50
0 42
3 08
,
,
,
2) +3 50
0 42
3 92
,
,
,
3) ×
+
3 92
3 08
3136
1176
12 0736
,
,
,
в) При а � 3,5; b � 0,42 (a + b)2 � (3,5 + 0,42)2 � 3,922 � 15,3664;
×
+
3 92
3 92
784
3528
1176
15 3664
,
,
,
475��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
г) При а � 3,5; b � 0,42 a2 + 2ab + b2 � 3,52 + 2 � 3,5 � 0,42 + 0,422 � ��12,25 + 7 � 0,42 + 0,1764 � 15,3664;
1) ×
0 42
7
2 94
,
,
2)
+12 2500
2 9400
0 1764
15 3664
,
,
,
,
Равны значения выражений а) и б); в) и г).782. Р � 4 � 24,16 � 96,64 (м); S � 24,162 � 24,16 � 24,16 � 583,7056 (м2).
×
24 16
4
96 64
,
,
×
+
24 16
24 16
14496
2416
9664
4832
583 7056
,
,
,
Ответ: периметр данного квадрата равен 96,64 м; а его площадь — 583,7056 м2.
783. Р � 2 � (2,51 + 0,602) � 6,224 (м); S � 2,51 � 0,602 � 1,51102 (м2).
+
0 602
2 510
3 112
,
,
,
×
3 112
2
6 224
,
,
×
+
2 51
0 602
502
1506
1 51102
,
,
,
Ответ: периметр прямоугольника равен 6,224 м; а его площадь — 1,51102 м2.
784. 4,6 � 42,8 + 5,75 � (42,8 + 25,32) � 588,57 (р.);
1) ×
+
42 8
4 6
2568
1712
196 88
,
,
,
2) +
42 80
25 32
68 12
,
,
,
3) ×
+
68 12
5 75
34060
47684
34060
391 6900
,
,
,
4) +196 88
391 69
588 57
,
,
,
Ответ: необходимо заплатить 588,57 р. за всю ткань.785. а) 0,1 м (так как 0,12 � 0,1 � 0,1 � 0,01); б) 0,2 м (так как 0,22 � 0,2 � 0,2 � 0,04); в) 0,5 м (так как 0,52 � 0,5 � 0,5 � 0,25); г) 0,3 м (так как 0,32 � 0,3 � 0,3 � 0,09).
476 ����������2002–2011 гг.
786. Sпрямоугольника � 13,2 � 9,3 � 122,76 (см2).
×
+
13 2
9 3
396
1188
122 76
,
,
, а) Sквадрата � 13,22 � 13,2 � 13,2 � 174,24 (см2).
×
+
13 2
13 2
264
396
132
174 24
,
,
,
174,24 см2 > 122,76 см2. Ответ: площадь квадрата больше площади прямоугольника. б) Sквадрата � 9,32 � 86,49 (см2).
×
+
9 3
9 3
279
837
86 49
,
,
,
86,49 см2 < 122,76 см2. Ответ: площадь квадрата меньше площади прямоугольника.787. 1)
×1 25
0 6
0 750 2
,
,
, ( )ì
2) ×
0 75
4
3 00 2
,
, ( )ì
3) ×0 8
0 4
0 32
,
,
, ( )ì2
4) ×
0 32
2
0 64
,
, ( )ì2
5) ×
0 2
0 3
0 06 2
,
,
, ( )ì
6) ×0 06
5
0 30 2
,
, ( )ì
7) 3 + 0,64 + 0,3 � 3,94 (м2); 8) ×
+
1 75
3 5
875
525
6 125 2
,
,
, ( )ì
9) −
6 125
3 940
2 185 2
,
,
, ( )ì
Ответ: площадь оставшегося пластика равна 2,185 м2.788. 1) 10 + 15,5 + 10 � 35,5 (м) — длина; 2) 10 + 4,8 + 10 � 24,8 (м) — ширина; 3) 2 � (35,5 + 24,8) � 120,5 (м);
477��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
+
35 5
24 8
60 3
,
,
,
×
60 3
2
120 6
,
, Ответ: длина забора равна 120,6 м.789. а) 3,2 � 2,5 + 6,04 � 14,04;
×
+
3 2
2 5
160
64
8 00
,
,
,
+
8 00
6 04
14 04
,
,
,
б) 16,7 – 3,5 � 1,08 � 12,92;
×
+
1 08
3 5
540
324
3 780
,
,
,
−16 70
3 78
12 92
,
,
,
в) 12,108 + 6,2 � 5,05 � 43,418;
×
+
5 05
6 2
1010
3030
31 310
,
,
,
+
12 108
31 310
43 418
,
,
,
г) 3 � (12,85 + 10,9) � 71,25;
+12 85
10 90
23 75
,
,
,
×
23 75
3
71 25
,
,790. 3,1 � (x + y) � 3,1 y + 3,1x � 3,1x + 3,1y.791. 0,9 � (m – n) � 0,9m – 0,9n.792. 0,55 � (x + y) � 0,55x + 0,55y � y � 0,55 + x � 0,55.
1010
1010
10
1010
1015,5
4,8
10 + 15,5 + 10
10
+ 4
,8 +
10
478 ����������2002–2011 гг.
794. 1) +13 233
5 680
18 913
,
,
, ; ;Τ
2) −17 80
2 51
15 29
,
,
, ; ;Ρ
3) +
4 541
2 800
7 341
,
,
, ; ;Α
4) −15 708
3 520
12 188
,
,
, ; ;Π
5) +
15 680
4 321
20 001
,
,
, ; ;Ε
6) −16 110
8 223
7 887
,
,
, ; ;Ö
7) +
1 2370
0 0034
1 2404
,
,
, ; ;È
8) −
3 1800
0 0018
3 1782
,
,
, ; .ß
1 2 3 4 5 6 7 8
Т Р А П Е Ц И Я
В трапеции две противолежащие стороны параллельны, а две дру-гие — нет.
Контрольные задания
1. а) 252 — двадцать пять в квадрате; 25 — основание степени; 2 — показатель степени; б) 35 — три в пятой степени; 3 — основание степени; 5 — показатель степени.2. 252 � 25 � 25 � 625;
3 3 3 3 3 3 81 3 2435
9 9
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =� � .
§ 45. Среднее арифметическое. Деление десятичной дроби на натуральное число
797. а) −
−
−
12 4
10
5
2 48
24
20
40
40
0
,
,
б) −
−
−
13 08
12
4
3 27
10
8
28
28
0
,
,
в) −
−
−
−
526 4
4
4
131 6
12
12
6
4
24
24
0
,
,
479��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
г) −
−
12 48
12
6
2 08
48
48
0
,
,
д) −
−
−
36 47
35
7
5 21
14
147
70
,
,
е) −
−
32 56
32
8
4 07
56
56
0
,
,
798. а) −
−
15 9
15
15
1 06
90
900
,
,
б) −
−
1 271
124
31
0 041
31
310
,
,
в) −
−
7 35
49
49
0 15
245
2450
,
,
г) −
−
74 88
72
36
2 08
288
288
0
,
,
д) −
−
−
930 62
62
62
15 01
310
31062
620
,
,
е) −
−
59 348
592
74
0 802
148
148
0
,
,
799. а) −
−
−
−
303 66
28
14
21 69
23
1496
84126
1260
,
,
б) −
−
−
−
1265 04
108
36
35 14
185
18050
36144
1440
,
,
в) −
−
59 74
58
29
2 06
174
1740
,
,
г) −
−
−
−
495 12
48
12
41 26
15
12
31
24
72
72
0
,
,
д) −
−
240 72
238
34
7 08
272
272
0
,
,
е) −
−
16 04
16
8
2 005
040
40
0
,
,
480 ����������2002–2011 гг.
800. а) −
−
0 0578
34
34
0 0017
238
238
0
,
,
б) −
−
0 03948
378
42
0 00094
168
168
0
,
,
в) −
−
0 0837
81
27
0 0031
27
27
0
,
,
г) −
−
0 03478
282
94
0 00037
658
658
0
,
,
д) −
−
−
0 52974
486
81
0 00654
437
405
324
324
0
,
,
е) −
0 095
95
19
0 005
0
,
,
801. а) −
−
0 087
75
15
0 0058
120
120
0
,
,
б) −
−
0 000135
10
5
0 000027
35
35
0
,
,
в) −
−
0 1062
90
18
0 0059
162
162
0
,
,
г) −
−
0 001824
160
32
0 000057
224
224
0
,
,
д) −
−
0 152
144
16
0 0095
80
80
0
,
,
е) −
0 72
72
24
0 03
0
,
,
481��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
802.
Ответ: 2a; a + b; 2b.803.
Ответ: b > a.804. 1) (4 + 3 + 2 + 2 + 3 + 5 + 2 + 4) : 8 � 25 : 8 � 3,125 � 3;
−
−
−
−
25
24
8
3 125
10
820
1640
400
,
,
2) (4 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 3 + 4) : 8 � 28 : 8 � 3,5 � 4;
−
−
28
24
8
3 5
40
40
0
,
,
Ответ: Незнайка за первую четверть может получить тройку по математике, но если исправит все двойки на тройки, то получит четыре.
805. Пончику нужно получить пять пятерок, тогда окончательная его отметка будет:
(2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5) : 9 � 36 : 9 � 4.806. 1) 3,5 мин � 3,5 � 60 с � 210 с.
−
−
−
−
−
1000
840
210
4 7619
1600
1470
1300
1260
400
210
1900
1
,
, ... ( );ì/ñ
8890
10...
4,7619… � 4,762 (м/с).
Ответ: искомая скорость равна 4,762 м/с.
a b 2a 2b0
a + b
a0 a + b
482 ����������2002–2011 гг.
2) 14,5 мин � 14,5 � 60 с � 870 с;
×
14 5
60
870 0
,
, ( )ñ
−
−
−
−
−
5000
4350
870
5 7471
6500
6090
4100
3480
6200
6090
110
,
, ... ( )ì/ñ
00
870
230...
Ответ: искомая скорость равна 5,747 м/с. 3) 34,5 – (3,5 + 14,5) � 34,5 – 18 � 16,5 (мин); 16,5 мин � 16,5 � 60 с � 990 с; 10 000 – (1000 + 5000) � 4000 (м);
×16 5
60
990 0
,
, ( )ñ
−
−
−
4000
3960
990
4 0404
4000
3960
4000
3960
40
,
, ... ( )
...
ì/ñ
4,0404… � 4,040 (м,с).
Ответ: искомая скорость равна 4,040 м/с. 4) (4,762 + 5,747 + 0,040( : 3 � 4,850 (м,с);
+4 762
5 747
4 040
14 549
,
,
,
,
−
−
−
−
−
14 549
12
3
4 8496
25
24
14
12
29
27
20
18
20
,
, ...
...
4,8496… � 4,850.
Ответ: 4,850 м/с.
483��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
5) 34,5 мин � 34,5 � 60 с � 2070 с;
×34 5
60
2070 0
,
, ( )ñ
−
≈
−
−
−
10000
8280
2070
4 8309 4 831
17200
16560
6400
6210
19
,
, ... , ( )ì/ñ
0000
18630
370...
Ответ: искомая скорость равна 4,831 м/с.
807. 1) −
22 57
12 36
10 21
,
,
,
−
−
−
10 21
10
2
5 105
2
2
10
10
0
,
,
+12 360
5 105
17 465
,
,
,
Итак, С(17,465). 2) (12,36 + 22,57) : 2 � 17,465;
+12 36
22 57
34 93
,
,
,
−
−
−
−
−
34 93
2
2
17 465
14
14
9
8
13
12
10
10
0
,
,
Результаты, полученные в 1) и 2) случае одинаковые.808.
Точка K — середина отрезка MN. Найдем координату точки K.
0
O M K N
77,36 122,64
484 ����������2002–2011 гг.
−122 64
77 36
45 28
,
,
,
−
−
−
−
45 28
4
2
22 64
5
4
12
12
8
8
0
,
,
+77 36
22 64
100 00
,
,
,
Итак, K(100). Найдем среднее арифметическое координат всех точек, то есть то-
чек M и N. (77,36 + 122,64) : 2 � 200 : 2 � 100. Вывод: среднее арифметическое координат концов отрезка есть ко-
ордината середины отрезка.809. Пусть A(a), B(b), C(c), тогда: c � (a + b) : 2.810. а) 1,53x + 0,47x � 15; (1,53 + 0,47)x � 15; 2x � 15; x � 15 : 2; x � 7,5; б) 3,28x + 4,72x � 17; (3,28 + 4,72)x � 17; 8x � 17; x � 17 : 8; x � 2,125;
−
−
−
−
17
16
8
2 125
10
8
20
16
40
40
0
,
,
в) 84,6x – 44,6x � 35; (84,6 – 44,6)x � 35; 40x � 35; x � 35 : 40;
485��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
x � 0,875;
−
−
−
35 0
320
40
0 875
300
280
200
200
0
,
,
г) 39,49x + 10,51x � 18; (39,49 + 10,51)x � 18; 50x � 18; x � 18 : 50; x � 0,36;
−
−
18 0
150
50
0 36
300
300
0
,
,
811. а) 6,5x – 2,5x � 19; (6,5 – 2,5)x � 19; 4x � 19; x � 19 : 4; x � 4,75;
−
−
−
19
16
4
4 75
30
28
20
20
0
,
,
б) 4,58x + 2,42x � 7,14; (4,58 + 2,42)x � 7,14; 7x � 7,14; x � 7,14 : 7; x � 1,02;
−
−
7 14
7
7
1 02
14
14
0
,
,
486 ����������2002–2011 гг.
в) 7,14x + 17,86x � 38; (7,14 + 17,86)x � 38; 25x � 38; x � 38 : 25; x � 1,52;
−
−
−
38
25
25
1 52
130
125
50
50
0
,
,
г) 199,29x – 119,29x � 72; (199,29 – 119,29)x � 72; 80x � 72; x � 72 : 80; x � 0,9;
−72 0
720
80
0 9
0
,
,
812. а) 1,9x + 3,34x – 2,24x � 30,66; (1,9 + 3,34 + 2,24)x � 30,66; 3x � 30,66; x � 30,66 : 3; x � 10,22;
−
−
−
30 66
3
3
10 22
6
6
6
6
0
,
,
б) 96,41x – 88,24x + 1,83x � 0,0202; (96,41 – 88,24 + 1,83)x � 0,0202; 10x � 0,0202; x � 0,0202 : 10; x � 0,00202;
−96 41
88 24
8 17
,
,
,
+
8 17
1 83
10 00
,
,
,
487��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
в) 4,25x + 56,402x – 4,652x � 58,912; (4,25 + 56,402 – 4,652)x � 58,912; 56x � 58,912; x � 58,912 : 56; x � 1,052;
+54 402
4 250
60 652
,
,
,
−
60 652
4 652
56 000
,
,
,
−
−
−
58 912
56
56
1 052
291
280
112
112
0
,
,
г) 5,45x – 4,568x – 0,882x � 0; (5,45 – 4,568 – 0,882)x � 0; 1x � 0; x � 0;
−5 450
4 568
1 882
,
,
,
−
1 882
0 882
1 000
,
,
,
813. а) 34,98x – 33,98x + 24x � 87,29; (34,98 – 33,98 + 24)x � 87,29; 25x � 87,29; x � 87,29 : 25; x � 3,4916;
−
−
−
−
−
87 29
75
25
3 4916
122
100
229
225
40
25
150
150
0
,
,
б) 56,289x + 45,07x – 100,359x � 52,15; (56,289 + 45,07 – 100,359)x � 52,15; 1x � 52,15; x � 52,15;
488 ����������2002–2011 гг.
+
56 298
45 070
101 359
,
,
,
−
101 359
100 359
1 000
,
,
,
в) 25,5x – 13,08x – 12,42x � 52,907; (25,5 – 13,08 – 12,42)x � 52,907; 0 � x � 52,907;
−
25 50
13 08
12 42
,
,
,
12,42 – 12,42 � 0.
Уравнение не имеет решения, так как если один из множителей равен 0, то и все произведение равно 0.
г) 186,37x – 95,327x – 52,043x � 12,48; (186,37 – 95,327 – 52,043)x � 12,48; 39x � 12,48; x � 12,48 : 39; x � 0,32;
−186 370
95 327
91 043
,
,
,
−
91 043
52 043
39 000
,
,
,
−
−
12 48
117
39
0 32
78
78
0
,
,
814. (10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + 9 + 10 + 10 + 11 + 11 + 12 + 13 + 13 + 13 + + 14 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 10 + 10 + 9) : 24 � (70 + 36 +33 + 24 + + 16 + 52 + 28) : 24 � (103 + 60 + 80 + 16) : 24 � 259 : 24 � 10,791666… ��� 10,8�.
Ответ: среднесуточная температура �10,8�.815. а) 270,48 : 14 – (15,45 : 15 + 54,252 : 9) � 12,262;
1) −
−
15 45
15
15
1 03
45
45
0
,
,
2) −
−
−
54 252
54
9
6 028
25
18
72
72
0
,
,
3) +
6 028
1 030
7 058
,
,
,
489��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
4) −
−
−
−
270 48
14
14
19 32
130
126
44
42
28
28
0
,
,
5) −19 320
7 058
12 262
,
,
,
б) 270,14 : 14 – 15,45 : 15 + 54,252 : 9 � 19,32 – 1,03 + 6,028 � ��24,318;
−
19 32
1 03
18 29
,
,
,
+18 290
6 028
24 318
,
,
, в) 270,48 : 14 – 15,45 : 15 – 54,252 : 9 � 19,32 – 1,03 – 6,028 �
��12,262;
−19 32
1 03
18 29
,
,
,
−18 290
6 028
12 262
,
,
, г) 54,252 : 9 + 270,48 : 14 – 15,45 : 15 � 6,028 + 19,32 – 1,03 �
��24,318;
+6 028
19 340
25 348
,
,
,
−
25 348
1 030
24 318
,
,
,
816. а) 0,3 � (23,316 : 5,8 + 0,5175 : 0,75) – 1,413 � 0; 1) 23,316 : 5,8 � 233,16 : 58 � 4,02;
−
−
233 16
232
58
4 02
116
116
0
,
,
2) 0,5175 : 0,75 � 51,75 : 75 � 0,69;
−
−
51 75
450
75
0 69
675
675
0
,
,
490 ����������2002–2011 гг.
3) +
4 02
0 69
4 71
,
,
,
4) ×
4 71
0 3
1 413
,
,
,
5) 1,413 – 1,413 � 0;
б) 0,3 � 23,316 : 5,8 – 0,5175 : 0,75 0 1,413 � 0,3 � 4,02 + 0,69 – 1,412 ��� 0,482;
×
4 02
0 3
1 206
,
,
,
+
1 206
0 690
1 896
,
,
,
−1 896
1 413
0 483
,
,
, в) 0,3 � 23,316 : 5,8 + 0,3 � 0,5175 : 0,75 – 1,413 � 1,206 + 0,3 � 0,69 –
– 1,413 � 0;
×0 69
0 3
0 207
,
,
,
+
1 206
0 207
1 413
,
,
,
1,413 – 1,413 � 0;
г) 23,316 : 5,8 + 0,3 � 0,5175 : 0,75 – 1,413 � 4,02 + 0,207 – 1,413 � ��2,814;
+
4 020
0 207
4 227
,
,
,
−
4 227
1 413
2 814
,
,
,
817. 1) −≈
−
−
442 0
436
109
4 0550 4 1
600
545
550
545
50
,
, ... , ( )
...
ì — высота 1 этажа Чикагского
небоскреба;
2) −
≈
−
−
−
−
412 0
330
110
3 7454 3 7
820
770
500
440
600
550
500
440
60
,
, ... , ( )ì
....
— высота 1 этажа Нью-Йоркского небоскреба.
Ответ: высота одного этажа Чикагского небоскреба больше, чем у Нью-Йоркского.
491��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
818. −
−
269 1
234
117
2 3
351
351
0
,
, ( )ì
Ответ: длина окружности колеса автомобиля равна 2,3 м.819. а) (28,7 – 23,4) : 2 � 2,65 (км/ч).
−28 7
23 4
5 3
,
,
,
−
−
−
5 3
4
2
2 65
13
12
10
10
0
,
,
Ответ: скорость течения реки равна 2,65 км/ч. б) 1) (23,1 – 18,8) : 2 � 2,15 (км/ч) — скорость течения реки.
−23 1
18 8
4 3
,
,
,
−
−
−
4 3
4
2
2 15
3
2
10
10
0
,
,
2) +18 80
2 15
20 95
,
,
, ( )êì/÷
Ответ: собственная скорость теплохода равна 20,95 км/ч.820. Нужно рассмотреть случаи движения по течению реки и против те-
чения реки.821. 1)
+112 0
96 5
208 5
,
,
,
(км) — общий путь;
2) +
=
3 20
2 60
5 60 6
÷ ìèí
÷ ìèí
÷ ìèí ÷
— общее время;
492 ����������2002–2011 гг.
3) −
−
−
−
208 5
18
6
34 75
28
24
45
42
30
30
0
,
, ( )êì/÷
Ответ: средняя скорость автомобиля на всем пути равна 34,75 км/ч.822. 1) s : v (ч); 2) (s – 20) (км); 3) (v – 12) км/ч; 4) (s – 20) : (v – 12) (ч); 5) s : v – (s – 20) : (v – 12) (ч); 6) s : v + (s – 20) : (v – 12) (ч); 7) s + (s – 20) � 2s – 20 (км); 8) (2s – 20) : (s : v – (s – 20) : (v – 12)) (км/ч).
Контрольные задания
1. а) −
−
−
18 96
12
12
1 58
69
60
96
96
0
,
,
б) −
−
−
20 7
18
6
3 45
27
24
30
30
0
,
,
2. (54,8 + 152,07 + 80,53) : 3 � 95,8;
+152 07
54 80
80 53
287 40
,
,
,
,
−
−
−
287 4
27
3
95 8
17
15
24
24
0
,
,
493��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
§ 46. Деление десятичной дроби на десятичную дробь
823. 1) 1,5 : 0,3 � 15 : 3 � 5; 4) 9 : 4,5 � 90 : 45 � 2; 2) 4,2 : 0,06 � 420 : 6 � 70; 5) 0,072 : 0,1 � 0,72 : 1 � 0,72; 3) 0,35 : 0,5 � 35 : 50 � 0,7; 6) 1,634 : 0,0001 � 16 340 : 1 � 16 340.824. а) 6 : 0,8 � 60 : 8 � 7,5; б) 160 : 0,016 � 160 000 : 16 � 10 000;
−
−
60 0
56
8
7 5
40
40
0
,
,
в) 32 : 1,28 � 3200 : 128 � 25; г) 24 : 6,25 � 2400 : 625 � 3,84;
−
−
3200
256
128
25
640
640
0
−
−
−
2400
1874
625
3 84
5250
5000
2500
2500
0
,
,
825. а) 1 : 0,5 � 10 : 5 � 2; б) 19 : 0,0608 � 190 000 : 608 � 312,5;
−
−
−
−
190000
1824
608
312 5
760
608
1520
1216
3040
3040
0
,
в) 4 : 0,025 � 4000 : 25 � 160;
−
−
4000
25
25
160
150
150
0
494 ����������2002–2011 гг.
г) 8,932 : 2,9 � 89,32 : 29 � 3,08;
−
−
89 32
87
29
3 08
232
232
0
,
,
826. а) 9 : 0,36 � 900 : 36 � 25;
−
−
900
72
36
25
180
180
0
,
б) 89 : 0,02848 � 8 900 000 : 2848 � 3125;
−
−
−
−
8900000
8544
2848
3125
3560
2848
7120
5696
14240
14240
0
в) 34 : 0,085 � 3400 : 85 � 40;
−3400
340
85
40
0
г) 225 : 0,625 � 225 000 : 625 � 360;
−
−
225000
1875
625
360
3750
3750
0
827. а) 0,75 : 0,15 � 75 : 15 � 5; б) 1,836 : 0,204 � 1836 : 204 � 9;
495��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
−1836
1836
204
9
0
в) 7,05 : 1,5 � 70,5 : 15 � 4,7;
−
−
70 5
60
15
4 7
105
105
0
,
,
г) 12,4 : 0,031 � 12 400 : 31 � 400;
−12400
124
31
400
0
828. а) 0,2091 : 4,1 � 2,091 : 41 � 0,051;
−
−
2 091
205
41
0 051
41
41
0
,
,
б) 519,536 : 15,2 � 5195,36 : 152 � 34,18;
−
−
−
−
5196 36
456
152
34 18
635
608
273
152
1216
1216
0
,
,
496 ����������2002–2011 гг.
в) 3,5 : 0,4 � 35 : 4 � 8,75;
−
−
−
35 0
32
4
8 75
30
28
20
20
0
,
,
г) 3,76 : 0,4 � 37,6 : 4 � 9,4;
−
−
37 6
36
4
9 4
16
16
0
,
,
829. а) −
−
1680
1600
400
0 42
800
800
0
,
б) −
−
−
−
7230 0
5000
5000
1 446
22300
20000
23000
20000
30000
30000
0
,
,
в) 16,92 : 4,23 � 1692 : 423 � 4;
−1692
1692
423
4
0
г) −
−
6448 0
64000
8000
0 806
48000
48000
0
,
,
497��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
830. а) −
−
−
17 5
14
14
1 25
35
28
70
70
0
,
,
б) −259
259
37
7
0
в) −
−
8610
728
246
35
1130
1130
0
г) −
−
1840 0
1472
736
2 5
3680
3680
0
,
,
836. а) −
≈
−
−
42 25
39
13
3 25 3
32
26
65
65
0
,
,
−
≈
−
−
825 6
64
32
25 8 26
185
160
256
256
0
,
,
69,02 : 3,4 � 690,2 : 34 � 20,3;
−≈
−
690 2
68
34
20 3 20
102
102
0
,
,
б) −
≈
−
−
900 0
837
93
9 76 9 7
630
558
720
651
69
,
, ... ,
...
−
≈
−
60 48
60
12
5 04 5
48
48
0
,
,
−
≈
−
−
21 45
21
3
7 15 7 2
4
3
15
15
0
,
, ,
в) −
≈
−
−
1 05
96
12
0 0875 0 09
90
84
60
60
0
,
, ,
−
≈
−
−
34 53
30
15
2 302 2 30
45
45
30
30
0
,
, ,
498 ����������2002–2011 гг.
−≈
−
−
−
106500
8580
2145
49 650 49 65
20700
1930513950
1287010800
, ... ,
110800750...
г) −
≈
−
−
−
48 156
45
15
3 2104 3 210
31
30
15
15
60
60
0
,
, ,
−
≈
−
−
−
−
1066 56
825
275
3 8784 3 878
2415
2200
2156
1925
2310
2200
1100
,
, ,
11100
0
−≈
−
−
−
61 25075
50
25
2 45003 2 450
112
100
125
125
075
75
0
,
, ,
837. а) Да; б) нет; в) да; г) да.838. 2,5 км � 2,5 � 1000 м � 2500 м;
−≈
−
25000 0
23331
3333
7 50 7 5
16690
16665
250
,
, ... , ( )
...
ñ
Ответ: взрыв будет услышан через 7,5 с.
499��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
829. 100 : 0,29 � 10 000 : 29 � 344,8 (м).
−≈
−
−
−
−
10000
87
29
344 82 344 8
130
116
140
116
240
232
80
58
22
, ... ,
... Ответ: в мотке �344,8 м нити.840. 44,46 кг � 44,46 � 1000 г � 44 460 г.
−
−
−
444600
2925
2925
152
15210
14625
5850
5850
0
(ì)
Ответ: в мотке 152 м проволоки.841.
−1200
120
24
50
0
( )ñò.
50 + 1 � 51 (ст.) (1 крайний столб).
Ответ: был установлен 51 столб.842. 1) (30 + 37,5) � 2 � 67,5 � 2 � 135,0 (м) — длина изгороди;
2) −
−
1350
125
25
54
100
100
0
( .)ñò
3) 54 + 1 � 55 (ст.). Ответ: для изгороди понадобится 55 столбов.843. 1) 2,6x � 1307,8; 2) x � 7,08 � 84,96; x � 1307,8 : 2,6; x � 84,96 : 7,08; x � 503; x � 12;
500 ����������2002–2011 гг.
−
−
13078
130
26
503
78
78
0
−
−
8496
708
708
12
1416
1416
0
3) 512x � 5,12; x � 5,12 : 512; x � 512 : 51 200; x � 0,01.
Действительно, 512 � 0,01 � 5,12.
4) x � 23,5 � 143,35; 5) 5,3x � 4,24;
x � 143,35 : 23,5; x � 4,24 : 5,3;
x � 6,1; x � 0,8;
−
−
1433 5
1410
235
6 1
235
235
0
,
,
−
42 4
424
53
0 8
0
,
,
6) 0,342x � 0,342; x � 0,342 : 0,342; x � 1.
Действительно, 0,342 � 1 � 0,342.
7) 2,31x � 0,1617; 8) x � 3 � 3,0468;
x � 0,1617 : 2,31; x � 3,0468 : 3,4;
x � 0,07; x � 1,002;
−16 17
1617
231
0 07
0
,
,
−
−
34 068
34
34
1 002
068
68
0
,
,
8) 28x � 0,028; x � 0,028 : 28; x � 0,001.
Действительно, 28 � 0,001 � 0,028.
844. б) 0,3 � (28,56 + 1,5) – 0,512 � 8,506;
1) +
28 56
1 50
30 06
,
,
,
2) ×
30 06
0 3
9 018
,
,
,
3) −
9 018
0 512
8 506
,
,
,
в) 0,3 � 28,56 + 0,3 � 1,5 – 0,512 � 8,506;
1) ×
28 56
0 3
8 568
,
,
,
2) ×
1 5
0 3
0 45
,
,
,
3) +
8 568
0 450
9 018
,
,
,
4) −
9 018
0 512
8 506
,
,
,
501��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
845. а) 0,51 + 0,8 � (5 : 4 + 38 : 1,9 + 91,2 : 15,2) � 22,31;
1) −
−
−
5 0
4
4
1 25
10
8
20
20
0
,
,
2) 380 : 19 � 20; 3) −
912
912
152
6
0
4)
+1 25
20 00
6 00
27 25
,
,
,
,
5) ×
27 25
0 8
21 800
,
,
,
6) +
21 80
0 51
22 31
,
,
,
в) 0,51 + 0,8 � 5 : 4 + 0,8 � 38 : 1,9 + 0,8 � 91,2 : 15,2 � 22,31;
1) ×1 25
0 8
1 000
,
,
,
2) ×0 8
20
16 0
,
,
3) 0,8 � 6 � 4,8; 4)
+
0 51
1 00
16 00
4 80
22 31
,
,
,
,
,
846. а) (x + 25.32) р.; 4,6х р.; 5,75 � (х + 25,32) (р.); 4,6x + 5,75 � (x + 25,32) (р.); 5,75(x + 25,32) – 4,6x (р.); б) 4,6x + 5,75(x + 25,32) � 588,57; 4,6x + 5,75x + 145,59 � 588,57; 10,35x � 588,57 – 145,59; 10,35x � 442,98; x � 442,98 : 10,35; x � 42,8; 5,75(x + 25,32) – 4,6x � 104,81; 5,75x + 145,59 – 4,6x � 194,81; 1,15x � 194,81 – 145,59; 1,15x � 49,22; x � 49,22 : 1,15; x � 42,8. Найдена цена ситца за 1 м.
502 ����������2002–2011 гг.
847. 1) −
≈
−
−
−
−
26 03103
24
3
8 67701 8 68
20
18
23
21
21
21
03
3
0
,
, ,
2) −
≈
−
−
−
8 62222
8
4
2 155 2 16
6
4
22
20
22
20
2
,
, ... ,
...
3) −≈
−
−
−
−
9 27
8
4
2 3175 2 32
12
12
7
4
30
28
20
20
0
,
, ,
4) −
≈
−
−
−
−
1103 13
105
15
73 542 73 54
53
45
81
75
63
60
30
30
0
,
, ,
848. 1) −
≈
−
−
−
428 402
416
52
8 238 8 24
124
104
200
156
442
442
26
,
, ... ,
...
2) −
≈
−
−
−
−
171 376
16
8
21 422 21 42
11
8
33
32
17
16
16
16
0
,
, ,
503��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
3) −≈
−
−
60 01
5
5
12 002 12 00
10
10
010
10
0
,
, , 4)
−≈
−
−
−
199 95
175
25
7 998 8 00
249
225
245
225
200
200
0
,
, ,
849. а) При а � 3; b � 0,1 a3 + b3 � 33 + 0,23 � 27 + 0,008 � 27,008; б) при а � 3; b � 0,2 (a + b)3 � (3 + 0,2)3 � 3,23 � 3,2 � 3,2 � 3,2 � 32,768; в) при а � 3; b � 0,2 (a + b)(a2 – ab + b2) � (3 + 0,2) � (32 – 3 � 0,2 + 0,22) �
��3,2 � 8,44 � 27,008; г) при а � 3; b � 0,2 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 � 33 + 3 � 32 � 0,2 + 3 � 3 � 0,22 +
+ 0,23 � 27 + 0,36 + 0,008 � 32,768. Итак, при данных значениях переменных а и b равны значения вы-
ражений а) и в); б) и г), то есть a3 + b3 � (a + b)(a2 – ab + b2); (a + b)3 � ��a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
850. а) 1,5x + 3x + 3 � 0,83 � 4,5x + 2,49; б) 7,1 + 17 – 5x � 24,1 – 5x; в) 1,2y + 6 – 1,7 � 1,2y + 4,3; г) 3x + 2,5x – 15 � 5,5x – 15.851. а) y + 7y – 21,7 � 8y – 21,7; б) 1,1x + 2,6x _ 5,2 � 3,7x – 5,2; в) x + 4,5x + 9x + 46,8 � 14,5x + 46,8; г) 7,1x + 1,42 + 1,8 � 7,1x + 3,22.852. а) 3x (р.); (х – 0,85) р.; 4(х – 0,85) р.; 3х + 4(х – 0,85) (р.); 3х – 4(х �
��0,85) (р.); 30 – (3х – 4(х – 0,85)) (р.); б) 3x + 4(x – 0,85) � 23,9; 3x + 4x – 3,4 � 23,9; 7x � 23,9 + 3,4; 7x � 27,2; x � 27,3 : 7; x � 3,9. Найдена цена ручки — 3,9 р.853. Цена тетради — х р., а книги — (х + 7) р. Дальше задание можно выполнить также, как в № 852.
854. а) 28 4 2 5 1 34
1 089 1 5 6 3 0 28
71 1 34
0 72 22 5
69 66
23 2
, , ,
, : , , : ,
,
, ,
,
,
⋅ −+
=−+
=22
3= ;
б) 0 72 0 104 0 112 0 5
0 063 1 26 0 13
0 616 0 056
0 05 1 4
0, , , ,
, : , ,
, ,
, ,
,− − ⋅⋅
=−
⋅=
556
0 078
,;=
в) ( , , ) : ( , , )
, : ,
: ,
, ,
, :2 1 1 965 0 12 0 45
0 0325 0 13
1 0 25
0 16 6 25
0 135 0− ⋅−
⋅=
,,
,
054
0 25
4
1− =
504 ����������2002–2011 гг.
= − = − =2 5
0 254 10 4 6
,
,;
г) ( , , ) ( , , )
( , , ) : ( , , )
,
,
, ,4 3 2 8 4 3 2 8
3 6 0 63 4 61 7 27
4 488
0 12
7 1 1+ ⋅ −− +
+ =⋅ 55
2 97 11 8837 4
, : ,,+ =
= + = + =10 65
0 2537 4 42 6 37 4 80
,
,, , , .
855. 1) −
−
−
5775
35
35
165
227
210
175
175
0
(р.) — стоит 1 м ткани;
2) ×
+
20 25
165
10125
12150
2025
3341 25
,
, (ð.)
Ответ: стоимость ткани равна 3341,25 р.
856. 1) ×
+
24
2 2
48
48
52 8
,
, ( )ì
— расстояние;
2) −
−
52 8
48
16
3 3
48
48
0
,
, ( )ì
Ответ: длина окружности заднего колеса равна 3,3 м.857. а) 1)
−8 1
0 4
3 24
,
,
,
2) ×
+
4 47
2 12
894
447
894
9 4764
,
,
, — новое произведение; 3)
−9 4764
4 4700
5 0064
,
,
, Ответ: новое произведение больше первоначального на 5,0064.
505��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
858. 1) 5,1 � 2 � 10,2 (раза); 2) ×
+
28 1
10 2
562
281
286 62 2
,
,
, ( )ì Ответ: искомая площадь равна 286,62 м2.859. 1)
−
−
−
15 0
12
12
1 25
30
24
60
60
0
,
, ( )ðàç
2) ×
+
1 25
26
750
250
32 50
,
,
(р.) — стоимость карамели;
3) +
32 5
26 0
58 5
,
,
, ( .)ð Ответ: было куплено конфет на общую сумму 58,5 р.860. а)
−
−
72 0
45
45
1 6
270
270
0
,
,
Частное увеличится в 1,6 раза;
б) частное не изменится; в) частное не изменится; г) 2,5 � 0,5 � 1,25 (раза); частное уменьшится в 1,25 раза.861. 1)
−135
81
54
2)
−
−
540
45
15
36
90
90
0
— один из множителей;
3) −
−
−
81 0
72
36
2 25
90
72180
1800
,
,
— второй множитель.
Ответ: искомые числа равны 36 и 2,25.
506 ����������2002–2011 гг.
862. а) 0,25 + 0,3 � 0,55; б) 1,68 – 0,5 � 1,18; в) 0,2 + 8,09 � 8,29; г) 0,75 – 0,098 � 0,652.
−
−
1 0
8
4
0 25
20
20
0
,
,
−1 0
10
5
0 2
0
,
,
−1 0
10
2
0 5
0
,
,
−
−
3 0
28
4
0 75
20
20
0
,
,
Контрольные задания
а) −
−
288 36
288
36
8 01
36
36
0
,
,
б) −
−
39 22
370
74
0 53
222
222
0
,
,
§ 47. Понятие процента
864. 100 % — все высаженные овощи; 8 % � 3 � 24 % — занято помидорами; 100 % – (6 % + 24 %) � 68 % — занято картофелем.865. 100 % — воздух; 75,5 % – 52,4 % � 23,1 % — приходится на кислород; 100 % – (75,5 % + 23б1 %) � 1,4 % — приходится на остальные
газы.866. 100 % — все книги библиотеки; 36 % : 3 � 12 % — справочники и словари; 100 % – (36 % + 12 %) � 51 % — художественная литература.
867. Сотая часть числа 1 %
Десятая часть числа 10 %
Пятая часть числа 20 %
Четвертая часть числа100
425
%%=
Половина числа 50 %
Три четверти числа 3 � 25 % � 75 %
Треть числа100
333
%%≈
868. На остальных насекомых приходится 50 % коллекции.
507��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
869. 100 % – 10 % � 90 %. Ответ: на остальные монеты приходится 90 % коллекции.870. 100 % – 25 % � 75 %. Ответ: на отечественную литературу приходится 75 % библиотеч-
ного фонда.
Контрольные задания
1 % — это сотая часть величины.
§ 48. Задачи на проценты
874. 1) 180 : 6 � 30 (марок) — величина 1 %; 2) 30 � 100 � 3000 (марок). Ответ: в коллекции филателиста 3000 марок.875. 1) 750 : 100 � 7,5 (уч.) — величина 1 %; 2) 7,6 � 6 � 45 (уч.). Ответ: шахматный кружок посещают 45 учеников.876. 1) 18 : 3 � 6 (уч.) — величина 1 %; 2) 6 � 100 � 600 (уч.). Ответ: в школе 600 учеников.877. 1) 150 : 100 � 1,5 (дер.) — величина 1 %; 2) 1,5 � 8 � 12 (лип). Ответ: в парке 12 лип.878. 1) 131,1 : 23 � 5,7 (м) — величина 1 %; 2) 5,7 � 100 � 570 (м). Ответ: бригада должна отремонтировать 570 м дороги.879. 1) 1500 : 100 � 15 (монет) — величина 1 %; 2) 15 � 21 � 315 (монет) — старинные; 3) 15 � 2 � 30 (монет) — иностранные; 4) 15 � 5 � 75 (монет) — юбилейные. Ответ: в коллекции 315 старинных монет, 30 иностранных и 75
юбилейных.880. 1) 48 : 60 � 0,8 (тыч. р.) — величина 1 %; 2) 0,8 � 100 � 80 (тыч. р.). Ответ: для оборудования кабинета нужно 80 тысяч рублей.881. 1) 1200 : 100 � 12 (марок) — величина 1 %; 2) 12 � 5 � 60 (марок) — старинные; 3) 12 � 18 � 216 (марок) — юбилейные; 4) 12 � 6 � 72 (марки) — иностранные. Ответ: в коллекции 60 старинных марок, 216 юбилейных и 72
иностранные.882. 1) 1260 : 20 � 63 (р.) — величина 1 %; 2) 63 � 100 � 6300 (р.). Ответ: за ремонт кухни было уплачено 6300 р.883. 1) 10 000 : 100 � 100 (м2) — величина 1 %; 2) 100 � 15 � 1500 (м2) — брюссельская капуста;
508 ����������2002–2011 гг.
3) 100 � 24 � 2400 (м2) — капуста кольраби; 4) 100 � 28 � 2800 (м2) — цветная капуста. Ответ: под брюссельскую капусту отведено 1500 м2; под капусту
кольраби — 2400 м2; под цветную — 2800 м2.884. 1) 800 : 10 � 80 (пар) — величина 1 %; 2) 80 � 100 � 8000 (пар). Ответ: на оптовую базу поступило 8000 пар обуви.885. 1) 87 : 75 � 1,16 (га) — величина 1 %; 2) 1,16 � 100 � 116 (га). Ответ: бригада должна убрать урожай с 116 га.886. 1) за 100 % примем путь лыжников за три дня — это 87 км; 2) 87 : 100 � 0,87 (км) — 1 %; 3) 0,87 � 35 � 30,45 (км) — I день; 4) 0,87 � 38 � 33,06 (км) — II день; 5) 87 – (30,45 + 33б06) � 87 – 63,51 � 23,49 (км) — III день.887. 1) весь путь, он неизвестен; 2) 33 : 30 � 1,1 (км) — 1 %; 3) 1,1 � 100 � 110 (км) — весь путь за три дня; 4) 1,1 � 38 � 41,8 (км) — II день; 5) 110 – (33 + 41,8) � 110 – 74,8 � 35,2 (км) — III день.888. 1) выпущенны за месяц 2500 деталей; 2) 2500 : 100 � 2,5 (детали) — 1 %; 3) 25 � 35 � 875 (деталей) — I декада; 4) 25 � 40 � 1000 (деталей) — II декада; 5) 2500 – (875 + 1000) � 2500 – 1875 � 625 (деталей) — III декада.889. 1) выпущенные за месяц детали; неизвестна; 2) 102 : 17 � 8 (деталей) — 1 %; 3) 8 � 100 � 800 (деталей) — за месяц по плану; 4) 8 � 34 � 204 (детали) — II декада; 5) 800 – (102 + 204) � 800 – 306 � 494 (детали) — III декада.890. 1) 382 200 : 100 � 3822 (р.) — 1 %; 2) 3822 � 45 � 171 990 (р.) — материалы; 3) 171 900 � 2 � 343 980 (р.) — стоимость работ и материала; 4) 383 200 – 343,980 � 38 220 (р.) — доставка. Ответ: стоимость материала равна 171 990 р., а доставки — 38 220 р.891. 1) 60 : 15 � 4 (стр.) — 1 %; 2) 4 � 100 � 400 (стр.) — всего в книге; 3) 4 � 25 � 100 (стр.) — II день; 4) 400 – (100 + 60) � 400 – 160 � 240 (стр.) — III день. Ответ: во второй день Оля прочитала 100 страниц книги, а в тре-
тий — 240 страниц.892. 1) 35 : 100 � 0,35 (кг) — 1 %; 2) 0,35 � 14 � 4,9 (кг) — сушеные грибы; 3) 2,8 : 14 � 0,2 (кг) — 1 % для второго случая; 4) 0,1 � 100 � 20 (кг) — свежие грибы. Ответ: из 35 кг свежих грибов можно получить 4,9 кг сушеных;
а чтобы получить 2,8 кг сушеных грибов, нужно взять 20 кг свежих грибов.
509��� �������� � ����� �. �. % ������, �. �. ���$������
893. 1) 100 % – 35 % � 65 % — остается вареного мяса; 2) 1 : 65 � 0,01538… � 0,015 (кг) — 1 % для первого случая; 3) 0,015 � 100 � 1,5 (кг) — свежее мясо; 4) 2 : 100 � 0,02 (кг) — 1 % для второго случая; 5) 0,02 � 65 � 1,3 (кг) — вареное мясо. Ответ: нужно взять �1,5 кг свежего мяса, чтобы получить 1 кг ва-
реного; а из 2 кг свежего мяса получится 1,3 кг вареного.
Контрольные задания
1. 5,96 : 100 � 0,0596 — 1%.2. 0,079 � 100 � 7,9 — 100 %.3. 186 : 100 � 34 � 1,86 � 34 – 63,24.4. 53,94 : 62 � 100 � 0,87 � 100 � 87.
§ 49. Микрокалькулятор
894. а) +
215 710
34 527
250 237
,
,
,
б) −
7549 25
6343 77
1205 48
,
,
,
в) ×
+
15 78
30 05
7890
4734
474 1890
,
,
,
г) −
−
382 27
381
127
3 01
127
127
0
,
,
895. а) 395,561; проверка: 395,561 – 54,281 � 341,28. Так как получили второе слагаемое, то сумма найдена правильно. б) 300,652; проверка: 300,652 + 390,4 � 691,052; в) 271,488; проверка: 271,488 : 12,8 � 21,21; г) 322,5; проверка: 322,5 � 18 � 5805.896. а) 0,302; проверка: 0,302 – 0,052 � 0,25; б) 0,0937; проверка: 0,0937 + 0,0088 � 0,1025; в) 28,08; проверка: 28,08 : 0,8 � 35,1; г) 0,1416; проверка: 0,1416 � 2,5 � 0,354.897. 25 � 32; 4,23 � 74,088; 37 � 2187; 5,14 � 676,5201.898. а) 67,111 – 33,048 � 34,063; б) 165,42 + 73,55 � 238,97; в) 166,663 – 102,58 � 64,083; г) 311,5 : 2,8 � 111,25.899. а) 546,31 – 452,8 � 93,51; б) 2,626 + 11,44 � 14,066; в) 74,11 + 85,32 � 159,43; г) 1,8 � 1,3536 � 2,43648.900. �А — ? в 2 раза >, чем �В — ? �С — ? на 20� <, чем
⎫⎬⎪
⎭⎪°180
2
20
xxx
°°− °( )
510 ����������2002–2011 гг.
Решение. 2x + x + x – 20 � 180; 4x � 180 + 20; 4x � 200; x � 50. Итак, �B � 50�, �А � 2 � 50� � 100�; �С � 50� – 20� � 30�. Ответ: �А � 100�; �В � 50�; �С � 30�.901. 1 способ: �ABF � 180� – 158� � 22�; �DBF � 165� – 22� � 143�. 2 способ: �CBD � 180� – 165� � 15�; �DBF � 158� – 15� � 143�. 3 способ: 1) 158� + 165� � 323�; 2) 323� – 180� � 143�. Ответ: �DBF � 143�.902. 1) 6 : 8 � 3 � 0,75 � 3 � 2,25 (сотки) — занято под огурцы; 2) 2,25 : 5 � 2 � 9,45 � 2 � 0,9 (сотки) — занято под огурцы для откры-
того грунта; 3) 2,25 – 0,9 � 1,35 (сотки) — тепличные сорта. Ответ: тепличными сортами занято 1,35 сотки участка.903. Единичный отрезок — 8 клеток.