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4.1 4.1 函数依赖函数依赖

4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化

4.3 4.3 数据依赖公理数据依赖公理

4.4 4.4 关系模式的分解关系模式的分解

第 4 章 关系数据理论关系数据理论

本章小结

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4.1 4.1 函数依赖函数依赖一、问题——如何构造一个关系模式 例：假设有学生关系模式

其中， S#— 学号、 SNAME— 学生姓名、 CLASS— 班级、 C#— 课程号、 TNAME— 教师姓名、 TAGE— 教师年龄、 ADDRESS— 教师地址、 GRADE— 成绩。

S(S#,SNAME,CLASS,C#,TNAME,TAGE,ADDRESS,GRADE)

关系 S 存在以下问题：1 ．数据冗余度高。SNAME 、 CLASS 、 TNAME 、 TAGE 、 ADDRESS 重复存储多次。

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4.14.1 函数依赖函数依赖 2 ．数据修改复杂。

3 ．插入异常。

插入异常是指应该插入到数据库中的数据不能执行插入操作的情形。

关系 S 的主键：（ S# ， C# ）从在 S# 、 C# 、和 (S#,c#) 上出现 NULL 值去分析。

注意：当一个元组在主键的属性上部分或全部为空时，该元组不能插入到关系中。

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4.14.1 函数依赖函数依赖4 ．删除异常。 删除异常是指不应该删去的数据被删去的情形。 例如：选修某门课的所有学生都退选时，删除相关元组，

会丢失该课程老师的信息。 解决：关系模式分解（关系规范化） 分解为 ST(S# ， SNAME ， CLASS) CT(C#,TNAME) TA(TNAME,TAGE,ADDRESS) SC(S#,C#,GRADE)

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4.14.1 函数依赖函数依赖二、函数依赖 functional dependency, abbr. FD

设： R （ A1 ， A2 ，… An)=R( U ) X ， Y ， Z 为 U 的不同子集

定义 4.1 ： ① 函数依赖 是完整性约束的一种，它推广了关键词的概念。

If t1.X=t2.X, then t1.Y=t2.Y ② 函数依赖：若 R 的任意关系有：对 X 中的每个属性值，在

Y 中都有惟一的值与之对应，则称 Y 函数依赖于 X ，记作 XY 。

属性全集

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4.14.1 函数依赖函数依赖 例：指出下列关系 R 中的函数依赖。

A B C D

a1 b1 c1 d1

a1 b1 c1 d2

a1 b2 c2 d1

a2 b1 c3 d1

FD: AB->C 、 A→C 、 C→A 、 AB→D ？ Insert into R values(a1, b1, c2, d1) FD = key constraint ?

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4.14.1 函数依赖函数依赖函数依赖与属性间的关系有： 若 X ， Y 是 1 — 1 关系， 则存在 XY 或 Y X 。如学号与借书证号 若 X ， Y 是 m — 1 关系， 则存在 XY 但 Y+> X 。如学号与姓名 若 X ， Y 是 m — n 关系， 则 X ， Y 间不存在函数依赖关系。如姓名与课程

CF: 实体间的联系NOTE: 函数依赖的方向性

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4.14.1 函数依赖函数依赖 例 试指出学生关系 S(S# ， SNAME ， CLASS ， C# ， TNAME ，

TAGE ， ADDRESS ， GRADE) 中存在的函数依赖关系。S#→SNAME （每个学号只能有一个学生姓名）S#→CLASS （每个学号只能有一个班级）C#→TNAME （设每门课程只有一个教师任教，而一个教师可教多

门课程，见 CT 表）TNAME→TAGE （每个教师只能有一个年龄）TNAME→ADDRESS （每个教师只能有一个地址）(S# ， C#)→GRADE （每个学生学习一门课只能有一个成绩）(S# ， C#)→SNAME 、 (S# ， C#)→CLASS 、 (S# ， C#)→C# 、(S# ， C#)→TNAME 、 (S# ， C#)→TAGE 、 (S# ， C#)→ADDRESS

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4.14.1 函数依赖函数依赖三、函数依赖的分类 XY ，但 Y 不包含于 X 则称 X 是非平凡的函数依赖。 XY ，但 Y ⊆ X 则称 X 是平凡的函数依赖。 若 XY ，则 X 叫做决定因素。 若 XY ， Y X ，则记作 : X<— —>Y 。 定义 4.2 ：在 R( U) 中， X, Y, Z 为 U 的不同子集。 完全函数依赖 : 是指 XY ，且对任何 X 的真子集 X’ ， 都有 X’+>Y ，记作： X F >

Y 。 部分函数依赖 : 是指 XY ，且存在 X 的真子集 X’ ， 有 X’->Y ， 记作： X P >

Y 。

定义 4.3 ：在 R( U ) 中 传递函数依赖：是指若 XY (Y 不包含于 X) ， Y +> X ， 而 Y Z 。记作： X T > Z 。

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4.14.1 函数依赖函数依赖 左部为单属性的函数依赖一定是完全函数依赖。 左部为多属性的函数依赖，如何判断其是否为完全函数依赖？ 方法：取真子集，看其能否决定右部属性。

例：试指出学生关系 S 中存在的完全函数依赖和部分函数依赖。 S#→SNAME ， S#→CLASS ， TNAME→TAGE ， TNAME→ADDRESS ， C#→TNAME 都是完全函数依赖。 (S# ， C#)→GRADE 是一个完全函数依赖，因为 S#+>GRADE ，

C#+>GRADE 。

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4.14.1 函数依赖函数依赖

例：试指出学生关系 S 中存在的传递函数依赖。

解：因为 C#→TNAME ， TNAME+>C# ， TNAME→TAGE ，所以C#→TAGE 是一个传递函数依赖。类似地， C#→ADDRESS也是一个传递函数依赖。

(S# ， C#)→SNAME ， (S# ， C#)→CLASS ，

(S# ， C#)→TNAME ， (S# ， C#)→TAGE ，

(S# ， C#)→ADDRESS 都是部分函数依赖，因为 S#→SNAME ， S#→CLASS ， C#→TNAME ， C#→TAGE ， C#→ADDRESS 。

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4.14.1 函数依赖函数依赖

四、候选键 用函数依赖的概念来定义键。定义 4.4 : 设 X 为 R<U ， F> 中的属性或属

性组合，若 X F > U 则 X 为 R

的候选键。 说明： X F >

U X -> U X 能决定整个元组 X’+> U X 中无多余的属性

术语： 主键 主属性 : 侯选键中的属性 非主属性 全键：整个属性组为键 例： R(顾客，商品，日期 )

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4.14.1 函数依赖函数依赖 例：试指出下列关系 R 中的侯选键、主属性和非主属性。

A D E

a1

d1 e2

a2

d6 e2

a3

d4 e3

a4

d4 e4解：关系 R 的侯选键为： A ， (D,E)

关系 R 的主属性为： A ， D ， E

关系 R 的非主属性：无

函数依赖判断： A->D? D->A? … AD->E?…

候选键判断 : A->ADE?… AD->ADE?…

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4.14.1 函数依赖函数依赖

例 1. R(A, B, C, D) ， F={A->B, A->C, AB->D}解：由 AB->A(自反律 ) 和 A->C(已知 ) 得： AB->C( 传递律 ) 又因为 AB->A (自反律 ) ， AB->B (自反律 ) 和 AB->D (已知 )

得： AB->ABCD 。 AB 是 R 的唯一候选键，同时也是 R 的主键。

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4.14.1 函数依赖函数依赖

例 2. R(A, B, C, D) ， F={A->B, A->C, A->D, AB->D}解：由 A->A(自反律 ) 和 A->B, A->C, A->D(已知 ) 得： A-> ABCD 可知 A 是 R 的候选键 AB->ABCD ，但由于存在 A-> ABCD ，则 AB 对 ABCD 是部分函

数依赖，因此 AB 不能成为候选键。 A 是 R 的唯一候选键， A 是主键。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化一、关系与范式 关系的规范化是将一个低级范式的关系模式，通过关系

模式的分解转换为若干个高级范式的过程。

关系模式分解的目的：去冗余、满足约束。

关系模式的冗余性问题。例 R(A,B,C) ，无任何约束可导致冗余，若规定 FD:A->B ，则冗余可利用 FD预测到。

约束条件通过函数的多值依赖和连接依赖及范式完成。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化二、第一范式： 1NF定义 4.5: 若 R 的每个分量都是不可分的数据项，则 R∈1NF 。 从型上看：不存在嵌套结构 从值上看，不存在重复组 1NF 是关系模式的最低要求。

例：学生关系 S(S# ， SNAME ， CLASS ， C# ， TNAME ， TAGE ， ADDRESS ， GRADE) 是 1NF 关系，但它存在数据冗余，插入异常和删除异常等问题。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化三、第二范式： 2NF 定义 4.6 若 R∈1NF ，且 R 中的每一个非主属性都完全

函数依赖于 R 的任一候选键，则 R∈2NF 。 例：学生关系 S(S# ， SNAME ， CLASS ， C# ， TNA

ME ， TAGE ， ADDRESS ， GRADE),判断 R 是否为2NF?

侯选键为 (S# ， C#) ，非主属性有： SNAME ， CLASS ， TNAME ， TAGE ， ADDRESS ， GRADE

(S# ， C#)－ >SNAME ， S# － > SNAME (S# ， C#) P >SNAME S2NF( 每一个非主属性 !) 。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化 分解为 2NF 的方法：破坏部分依赖的条件。 将满足部分函数依赖和满足完全函数依赖的属性分解到

不同的关系中。

对上例，考察非主属性和侯选键之间的函数依赖关系：(S# ， C#) P >SNAME ， (S# ， C#) P >CLASS ，(S# ， C#) P >TNAME ， (S# ， C#) P >TAGE ，(S# ， C#) P >ADDRESS ， (S# ， C#) F >GRADE 区分出完全依赖和部分依赖，若是部分依赖，标记出其

中的主属性。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化 关系 S 分解为三个关系：ST(S# ， SNAME ， CLASS) （只依赖 S# 的属性分解到

一个子模式中）CTA(C# ， TNAME ， TAGE ， ADDRESS) （只依赖 C#

的属性分解到另一个子模式中）SC(S# ， C# ， GRADE) （完全函数依赖于候选键的属

性分解到第三个子模式中）分解后，关系 ST 、 CTA 和 SC 都为 2NF 。结论 1 ：若关系 R 的侯选键是单属性的，则 R必定是 2N

F 。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化 达到 2NF 的关系仍然可能存在问题。例如，在关系 CTA 中还存在以下问题：（ 1 ） 数据冗余。一个教师承担多门课程时，教师的姓

名、年龄、地址要重复存储。（ 2 ） 修改复杂。一个教师更换地址时，必须修改相关

的多个元组。（ 3 ） 插入异常。一个新教师报到，需将其有关数据插

入到 CTA 关系中，但该教师暂时还未承担任何教学任务，则因缺键 C# 值而不能进行插入操作。

（ 4 ） 删除异常。删除某门课程时，会丢失该课程任课教师的姓名、年龄和地址信息。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化四、第三范式： 3NF定义 4.7 如果关系 R 的任意一个非主属性都不传递函数依赖

于它的任意一个候选键，则 R∈3NF 。 关系 CTA(C# ， TNAME ， TAGE ， ADDRESS) 是 2NF ，

但不是 3NF 。 候选键： C# ，非主属性： TNAME 、 TAGE 、 ADDRESS 。 由于 C#→TNAME ， TNAME+>C# ， TNAME→TAGE ，所

以 C# T >TAGE ，同样有 C# T >ADDRESS ，即存在非主

属性对候选键的传递函数依赖。

关系模式 R （ A ， B ， C ， D ），键为 AB ，给出它的一个函数依赖集，使得 R 属于 2NF 而不属于 3NF

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化 分解为 3NF 的方法：破坏传递依赖的条件。 将涉及传递函数依赖中的两个依赖中的属性分解到不同的关系中。

例： CTA 中，两个传递依赖 C# T >TAGE ， C# T >ADDRESS

C#→TNAME ， TNAME+>C# ， TNAME→TAGE 。 C#→TNAME ， TNAME+>C# ， TNAME→ADDRESS 。 将 CTA 分解为： CT(C# ， TNAME) TA(TNAME ， TAGE ， ADDRESS) 则关系 CT 和 TA 都是 3NF ，关系 CTA 中存在的问题得到了解决。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化 定理 4.1 一个 3NF 的关系必定是 2NF 。（ 3NF 传递函数依赖， 2NF 完全函数依赖。） 证明：用反证法。设 R∈3NF ，但 R2NF ，则 R 中必有非主属性 A 、侯选键 X 和 X 的真子集 X‘存在，使得 X’→A 。 X’ 是侯选键 X 的真子集，有 X-X‘≠ф； A 是非主属性，

A-X≠ф， A-X‘≠ф，这样 A 、 X 、 X‘是 U 的不同子集。

X’ 是侯选键 X 的真子集，则有 X→X’ 且 X’+>X ，联合反证假设 X’→A 可知存在传递依赖（ X→X’ ， X’+>X ， X’→A ）

R 不是 3NF ，与题设矛盾。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化 通过转为 2NF消除了部分依赖，通过转为 3NF消除了

传递依赖，问题：达到 3NF 的关系是否仍然存在问题？

例：每一教师只教一门课。每门课由若干教师教，某一学生选定某门课，就确定了一个固定的教师。某个学生选修某个教师的课就确定了所选课的名称 ：

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化

解：关系 SCT 的侯选键： (S# ， CNAME) 和 (S# ， TNAME) 非主属性：无 （ SCT至少是一个 3NF 关系 ) 结论 2 ：若关系 R 的所有属性都是主属性，则 R必定是 3NF 。

S# CNAME

TNAME

s1 英语 王平 s1 数学 刘红 s2 物理 高志强 s2 英语 陈进 s3 英语 王平

候选键判断 :

S#->S# CNAME TNAME..

取左部的相同值，判断右部。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化在 3NF 关系 SCT 中存在： 插入异常。例如，一个新课程和任课教师的数据，在没

有学生选课时不能插入数据库。 删除异常。例如，删除某门课的所有选课记录，会丢失

课程与教师的数据。

达到 3NF 的关系仍然可能存在问题。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化五、 BCNF 定义 4.8 关系模式 R<U ， F>∈1NF 。若函数依赖集合 F 中的所有函数依赖 X→Y （ Y 不包含于 X ）的左部都包含 R 的任一侯选键，则 R∈BCNF 。 换言之， BCNF 中的所有依赖的左部都必须包含候选键。

例：关系 SCT 是否 BCNF? 因为 TNAME→CNAME ，其左部未包含该关系的任一侯选键，所以它不是 BCNF 。

解决： BCNF 分解。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化 分解为 BCNF 的方法： 消除不包含关系。 1. 假设 R(U) 不是 BCNF, X 是 R 的属性子集， A 是 R 的

单个属性， X->A 是导致违反 BCNF 的函数依赖，则将R 分解为 R-A 以及 XA 。

2. 若 R-A 以及 XA 仍然不是 BCNF ，则在 R-A 以及 XA递归地执行上述分解。

例 SCT ： (S# ， CNAME ， TNAME) ， FD: TNAME→CNAME 。

可分解为 SC(S# ， TNAME) 和 CT(CNAME ， TNAME) ，它们都是 BCNF 。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化定理 4.2 ：一个 BCNF 的关系必定是 3NF 。（ 3NF ：任意的非主属性都不传递依赖于任意一个候选

键。）证明：用反证法。设 R 是一个 BCNF ，但不是 3NF ，则必存在一个非主属性 A 和候选键 X 以及属性集 Y ，使得 A 传递依赖于 X ，即 X→Y(Y 不包含于 X) ， Y+>X ，Y→A 。

这就是说 Y 不包含 R 的候选键，但 Y→A却成立。 根据 BCNF 定义可知， R 不是 BCNF ，与题设矛盾。

结论 3 ：任何的二元关系必定是 BCNF 。

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化 3NF 下仍然存在插入异常和删除异常， 原因在于可能

存在主属性对候选键的部分函数依赖和传递函数依赖。

一个模式中的关系模式如果都属于 BCNF ，则在函数依赖的范畴内实现了彻底的分离，已消除了插入和删除的异常。

其它问题？

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4.2 4.2 关系模式的规范化关系模式的规范化六、第四范式： 4NF定义 4.10 若 R∈ 1NF ， D 是 R 上的依赖集，如果对于任何一个多值依赖 XY (Y-X≠ф,XY没有包含 R 的全部属性 ) ， X 都包含了 R 的一个候选关键词，则 R∈4NF 。

4NF必定是 BCNF ，但 BCNF 不一定是 4NF 。

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5种范式的关系：

4.2 关系模式的规范化

1NF

非规范化的关系

2NF

3NF

消除组合数据项

消除非主属性对键的部分函数依赖

消除非主属性对键的传递函数依赖

4NF

消除非平凡的多值依赖

BCNF

消除主属性对键的部分和传递函数依赖

范式的转换关系：

1NF

2NF

3NF

BCNF

4NF

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4.2 关系模式的规范化 关系的规范化是将一个低级范式的关系模式，通过关

系模式的分解转换为若干个高级范式的过程。

范式的转换过程是通过分析和消除属性间的数据依赖关系来实现的。

属性可分为键和非主属性。 2NF, 3NF考察非主属性和键的关系， BCNF考察主属性和键的关系。

属性间的依赖关系包括函数依赖和多值依赖。 1NF, 2NF, 3NF, BCNF考察了函数依赖关系； 4NF考察了多值依赖。

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4.3 数据依赖公理 1.阿氏公理定义 4.13 设 F 是关系模式 R 的函数依赖集， X 、 Y 是 R 的属性子集，

如果从 F 的函数依赖中能够推出 XY ，则称 F逻辑蕴涵 XY 。在 R<U ， F> 中为 F 所逻辑蕴含的函数依赖全体叫 F 的闭包，记为：

F+ 。 F+={ ① F； ② F 中推出的非平凡的函数依赖； ③平凡的函数依赖： A->φ、 A->A 、 AB-> A….. } 例：有关系模式R(A，B，C)，它的函依赖集 F={A→B，B→C}，计算 F的闭包。

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4.3 数据依赖公理 Armstrong公理 (阿氏公理 ) ： 对 R<U ， F> 有： A1自反律：若 Y⊆X ，则 XY 。 A2增广律：若 XY ，则 XZYZ 。 A3 传递律：若 XY 、 YZ ，则 XZ 。

Note ： XY 与 YX 的次序无关。

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4.3 数据依赖公理

证：设 s ， t 是 r 的任意两个元组， r 是 R 的任意一个关系。

A1自反律：若 Y⊆X ，则 XY 。 若 s[x]=t[x]，则在 s 和 t 中的 x的任何子集也必相等。 ∵ Y⊆X ，∴ s[y]=t[y] ∴ XY 。 A2增广律：若 XY ，则 XZYZ 。 若 s[xz]=t[xz]，即 s[x]s[z]=t[x]t[z] 则 s[x]=t[x] 且 s[z]=t[z] ∵ XY ， ∴ s[y]=t[y] ∴ s[yz]=s[y]s[z]=t[y]t[z]=t[yz] ∴ XZYZ

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4.3 数据依赖公理

A3 传递律：若 XY 、 YZ ，则 XZ 。 若 s[x]=t[x] ∵ XY ∴ s[y]=t[y] 又 ∵ YZ ∴ s[z]=t[z] ∴ XZ 。

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4.3 数据依赖公理

公理的推论： 合并规则：若 XY 、 XZ ，则 XYZ 。 分解规则：若 XYZ ，则 XY,XZ 。 伪传递规则：若 XY 、WYZ ，则WXZ 。 证明： 合并规则：∵ XY ∴ XXY (A2) 又∵ XZ ∴ XYYZ (A2) ∴ XYZ (A3)

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4.3 数据依赖公理

分解规则： ∵ Y⊆Y Z ∴ YZY (A1) 又∵ XYZ(已知） ∴ XY (A3) 同理可证 XZ 。伪传递规则：∵ XY ∴ WXWY (A2) 又∵ WYZ (已知 ) ∴ WXZ (A3) 定理 4.5: XA1A2…AK成立的充分必要条件是 XAi

成立。由合并律 由分解律

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4.3 数据依赖公理 定义 4.14: XF

+={A|XA 能由 F用阿氏公理导出 } XF

+ 称为属性集 X 关于 F 的闭包。

定理 4.6： XY 能从 F 中用阿氏公理导出的充要条件是： Y⊆XF

+

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4.3 数据依赖公理 定理 4.6的证明 证明： 充分性（ Y⊆XF

+ -> XY ） 假设 Y⊆XF

+ ( 其中 Y=A1A2…An )

由属性闭包定义可知， XA1 ， XA2… ， XAn 能由阿氏公理导出，再由合并规则得 X A1A2…An ，即 XY 。

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4.3 数据依赖公理

必要性：（ XY -> Y⊆XF+ ）

假设 XY 能由阿氏公理导出 (Y=A1A2…An) 则有 XA1A2…An

由分解规则得： XA1 ， XA2… ， XAn

由 XF+ 的定义可知， Ai⊆ XF

+ (i=1,2,…,n) 即 Y⊆XF

+ 。

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ArmstrongArmstrong 公理系统公理系统 Armstrong 公理完备性的证明

证明：（构造性证明）用反证法假定存在函数依赖 XY 被 F 逻辑蕴涵，但 XY 不能用 Armstrong 公理从 F 中导出由引理二，构造 R(U) 上的关系 r 如下：

下面证明（ 1 ） r 满足 F ，（ 2 ） r 不满足 XY

FX

FX

FXY ， Y ≠ ， U ≠

r （ U ）

t 1 0

s 1 1

FX

FX

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4.3 数据依赖公理2. 属性闭包的计算算法 4.1 : 求属性集 X 关于 F 的闭包 XF

+(X+) 。 算法： 设 R<U ， F> ， A 为 U 中属性 ( 集 ) 。 (1) X(0)=X (2) X(i+1)=X(i)∪A 其中：对 F 中任一个 Y->A ，且 Y⊆X(i)； 求得 X(i+1) 后，对 Y->A 做删除标记。 (3) 若 X(i+1)=X(i) 或 X(i+1) =U 则结束，否则转 (2) 。

算法会终止吗？

最多 |U-X| 步

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闭包的计算闭包的计算 示例 1

R< U, F >, U = (A, B, C, G, H, I), F = {AB, AC, CGH, CGI, BH}, 计算

所用依赖

AB AGB AC AGBC CGH AGBCH CGI AGBCH I

= AGBCH I

FAG)(

FAG)(

FAG)(

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闭包的计算闭包的计算 示例 2

R< U, F >, U = (A, B, C, D, E), F = {ABC, BD, CE, CEB, ACB}, 计算

所用依赖

ABC ABC BD ABCD CE ABCDE

= ABCDE

FAB)(

FAB)(

FAB)(

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闭包的计算闭包的计算 示例 3

R< U, F >, U = (A, B, C, D, E, G), F = {AE, BEAG, CEA, GD}, 计算

所用依赖

AE ABE BEAG ABEG GD ABEGD

= ABEGD

FAB)(

FAB)(

FAB)(

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4.3 数据依赖公理

3. 函数依赖集的等价和覆盖定义 4.15 : 如果 F+=G+ ，就说函数依赖集 F覆盖 G 或 F

与 G等价。定理 4.9: F+=G+ 的充分必要条件是 F⊆G+ ，和 G⊆F+ 。（ 1 ）必要性∵F 和 G等价，∴ F+=G+ ，又∵ F⊆F+ ，∴ F⊆G+

同理，∵ G⊆G+ ，∴ G⊆F+ 。（ 2 ）充分性任取 X→Y∈F+ ，则有 Y⊆XF

+ ( 定理 4.6)又∵ F⊆G+ （已知），∴ Y⊆XG++

∴X→Y∈(G+)+=G+ ，∴ F+⊆G+ 。同理可证 G+⊆F+ ，∴ F+=G+ ，即 F 和 G等价。

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4.3 数据依赖公理 如何判断函数依赖集 F 和 G 是否等价？ 根据定理 4.9: 只需 F⊆G+ 和 G⊆F+ ，即证集合的包含

关系。 对每个 T ∈ F, 有 T ∈ G+；对每个 S ∈G ，有 S ∈ F+ ，

T 和 S 是形如 X->Y 的属性依赖。 证 X->Y ∈ G+,根据定理 4.6：只需 Y ⊆ XG

+

转为计算 XG+

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4.3 数据依赖公理

例： F={A→B ， B→C}， G={A→BC ， B→C}，判断 F和 G 是否等价。

解：（ 1 ）先检查 F 中的每一个函数依赖是否属于 G+ 。 ∵AG

+=ABC ，∴ B⊆AG+ ，∴ A→B∈G+ ( 定理 4.6)

又∵ BG+=BC ，∴ C⊆BG

+ ，∴ B→C∈G+

∴F⊆G+

（ 2 ）然后检查 G 中的每一个函数依赖是否属于 F+ 。 ∵AF

+=ABC ，∴ BC⊆AF+ ，∴ A→BC∈F+

又∵ BF+=BC ，∴ C⊆BF

+ ，∴ B→C∈F+

∴G⊆F+

由（ 1）和（ 2）可得 F和 G等价。

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4.3 数据依赖公理4.最小函数依赖集 定义 4.16: 若 F满足下列条件，则称其为一个最小函数依

赖集 Fm 。 (1) F中每个函数依赖的右部都是单属性； (2) 对于 F 的任一函数依赖 X→A ， F-{X→A}与 F 都不等价；

(3) 对于 F中的任一函数依赖 X→A和 X的真子集 Z， (F-(X→A))U{Z→A}与 F都不等价。

最小：（ 1 ） F中每个函数依赖的右部没有多余的属性； （ 2 ） F中不存在多余的函数依赖； （ 3 ） F中每个函数依赖的左部没有多余的属性。

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4.3 数据依赖公理 定理 4.10: 每个 F 与 Fm等价。 如何求最小函数依赖集 Fm ？ (1) 分解：使 F 中任一函数依赖的右部仅含有单属性。 (2) 删除冗余的函数依赖： 方法：对 F 中任一 XA ，在 F-{XA}中求 X+ ， 若 A⊆X+ ，则 XA 为多余的。 (3)最小化左边的多余属性： 方法：对 F 中任一 XYA ，在 F 中求 X+ ， 若 A⊆X+ ，则 Y 为多余的。 [ (4)检查：用公理或 (2) ]

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4.3 数据依赖公理例：设有 F={B→C ， C→AB ， BC→A}，求与 F等价的最小函数

依赖集。 分解 C→AB ， F={B→C ， C→A ， C→B ， BC→A} 判断 B→C 是否冗余， F’={C→A ， C→B ， BC→A} B+ = B, B→C 非冗余。 F={B→C ， C→A ， C→B ， BC→A} 判断 C→A 是否冗余， F’={B→C, C→B ， BC→A} C+ = ABC, C→A 冗余。 F={B→C ， C→B ， BC→A} 判断 C→B 是否冗余， F’={B→C, BC→A} C+ = C, C→B 非冗余。 F={B→C ， C→B ， BC→A} 判断 BC→A 是否冗余， F’={B→C ， C→B} BC+ = BC, BC→A 非冗余。 F={B→C ， C→B ， BC→A} 判断 BC→A 。 B+ = ABC, A⊆B+ ，则 C 在 BC→A 中是多余的。 Fmin={B→C ， C→B ， B→A}

注意：

对当前 F求闭包

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4.3 数据依赖公理

例：设有函数依赖集 F={A→B,ABCD→E,EF→G,EF→H,ACDF→EG}

求与 F等价的最小函数依赖集。

注意：一个函数依赖集的最小集不是惟一的。例如， F={A→B ， B→A ， B→C ， A→C ， C→A} Fm1={A→B ， B→C ， C→A}， Fm2={A→B ， B→A ， A→C ， C→A}。方法 1 ： 无多余属性；依次判断 B->A, A->C 是否冗余；方法 2 ： 无多余属性；依次判断 B->C 是否冗余。

Fmin = {A→B,ACD→E, EF→G,EF→H}

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4.4 关系模式的分解 对于存在数据冗余、插入异常、删除异常的关系

模式，可以通过对关系模式的分解来解决问题。关系模式分解后会带来两个问题：

（ 1 ）查询时的连接操作是否会丢失某些信息或多出某些信息。这引出了无损连接的概念。

（ 2 ）分解后的关系模式是否保持了原来的函数依赖。这是保持函数依赖性的问题。

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4.4 关系模式的分解1. 等价模式分解的定义 一个关系可以有多种分解方法，如何判断分解的好与坏呢？

例：关系模式 R(S# ， SD ， MN),F={S#→SD ， SD<—>MN}

分解一： ρ1={R1(S#) ， R2(SD) ， R3(MN)} 不好！无法恢复 r.分解二： ρ2={R1(S#， SD)， R2(S#，MN)} 不好！丢失 SD<—>MN分解三： ρ3={R1(S# ， SD) ， R2(SD ， MN)} 好！

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R(A, B, C)

A B C

1 1 2

2 2 1

A B

1 1

2 2

B C

1 2

2 1

A B C

1 1 2

2 2 1

∏AB(R) ∏BC(R) ∏AB(R) ∏BC(R)

R(A, B, C)

A B C

1 1 1

2 1 2

A B

1 1

2 1

B C

1 1

1 2

A B C

1 1 1

1 1 2

2 1 1

2 1 2

∏AB(R) ∏BC(R) ∏AB(R) ∏BC(R)

有损分解

无损分解

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4.4 关系模式的分解

2.无损连接性与依赖保持性 对于 R<U ， F> 中任何一个关系 r ，R 分解 ρ={R1, R2….RK} 无损连接性： r=ΠR1(r) ⋈ ΠR2(r) ⋈ … ⋈ ΠRK(r) 保持函数依赖： F ≡ ΠR1(F)∪ΠR2(F)∪… ΠRK(F) ΠRi(F)={X->Y| X->Y∈F+∧XY⊆Ri }

Ri 所蕴含的 F+

中的函数依赖

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4.4 关系模式的分解例： R(A ， B ， C) ， F={A->B ， A->C} ，分解 ρ={AB ，

AC} 判断 1 ： r=ΠAB(r) |X| ΠAC(r) 是无损连接分解。 判断 2: F≡ΠAB(F)∪ΠAC(F) = {A->B ， A->C} 具有函数依赖保持性。

A B C

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b1 c2

r

?ρ={AB ， BC}

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4.4 关系模式的分解 算法 4.3 无损连接性检验。 输入：关系模式 R(A1 ， A2 ，…， An) ，它的函数依赖集 F ，以及分解 ρ={R1 ， R2 ，…， Rk}。 输出：确定 ρ是否具有无损连接性。方法： (1) 构造一个 k 行 n 列的表，第 i 行对应于关系模式 Ri ，第 j列对应于属性 Aj。如果 Aj∈Ri ，则在第 i 行第 j列上放符号 aj，否则放符号 bij。（属于用 a代表，且位置信息用 j表示；不属于用 b代表 ,

且位置信息用 ij表示。） (2) 重复考察 F 中的每一个函数依赖，并修改表中的元素。其方法如下：取 F 中一个函数依赖 X→Y ，在 X 的分量中寻找相同的行，然后将这些行中 Y 的分量改为相同的符号，如果其中有 aj，则将 bij改为 aj；若其中无 aj，则全部改为 bij（ i 是这些行的行号最小值）。

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4.4 关系模式的分解(3) 如果发现表中某一行变成了 al ， a2 ，…， an ，则分

解 ρ 具有无损连接性；如果 F 中所有函数依赖都不能再修改 表中的内容，且没有发现这样的行，则分解 ρ不具有无 损连接性。

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无损连接分解无损连接分解 示例一： U={A,B,C,D,E}, F={ABC, CD,DE}

={(A, B, C), (C, D), (D, E)}

A B C D E

ABC a1 a2 a3 b14 b15

CD b21 b22 a3 a4 b25

DE b31 b32 b33 a4 a5

A B C D E

ABC a1 a2 a3 b14 b15

CD b21 b22 a3 a4 b25

DE b31 b32 b33 a4 a5

ABC

A B C D E

ABC a1 a2 a3 a4 b15

CD b21 b22 a3 a4 b25

DE b31 b32 b33 a4 a5

CDA B C D E

ABC a1 a2 a3 a4 a5

CD b21 b22 a3 a4 a5

DE b31 b32 b33 a4 a5

DE

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4.4 关系模式的分解 示例二： U={A,B,C,D,E},

F={AC, BC, CD,DEC ,CEA} ={(A, D), (A, B), (B, E), (C, D, E), (A, E)}

A B C D E

AD a1 b12 b13 a4 b15

AB a1 a2 b23 b24 b25

BE b31 a2 b33 b34 a5

CDE b41 b42 a3 a4 a5

AE a1 b32 b33 b54 a5

AC

A B C D E

AD a1 b12 b13 a4 b15

AB a1 a2 b13 b24 b25

BE b31 a2 b33 b34 a5

CDE b41 b42 a3 a4 a5

AE a1 b32 b13 b54 a5

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4.4 关系模式的分解

BCA B C D E

AD a1 b12 b13 a4 b15

AB a1 a2 b13 b24 b25

BE b31 a2 b13 b34 a5

CDE b41 b42 a3 a4 a5

AE a1 b32 b13 b54 a5

CDA B C D E

AD a1 b12 b13 a4 b15

AB a1 a2 b13 a4 b25

BE b31 a2 b13 a4 a5

CDE b41 b42 a3 a4 a5

AE a1 b32 b13 a4 a5

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4.4 关系模式的分解

DECA B C D E

AD a1 b12 b13 a4 b15

AB a1 a2 b13 a4 b25

BE b31 a2 a3 a4 a5

CDE b41 b42 a3 a4 a5

AE a1 b32 a3 a4 a5

CEAA B C D E

AD a1 b12 b13 a4 b15

AB a1 a2 b13 a4 b25

BE a1 a2 a3 a4 a5

CDE a1 b42 a3 a4 a5

AE a1 b32 a3 a4 a5

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4.4 关系模式的分解 定理 4.12 设 ρ=(R1 ， R2) 是 R 的一个分解， F 是 R 上的函数 依赖集，分解 ρ具有无损连接性的充分必要条件是： R1∩R2→(R1-R2)∈F+

或 R1∩R2→(R2-R1)∈F+

证明： （ 1 ）充分性：设 R1∩R2→(R1-R2) ，按算法 5.2 可构造出下

表。表中省略了 a 和 b 的下标，这无关紧要。

Ri R1∩R2 R1-R2 R2-R1

R1 aa…a aa…a bb…b

R2 aa…a bb…b aa…a

只能用于判断分解为2 个子模式的情况。

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4.4 关系模式的分解 如果 R1∩R2→(R1-R2) 在 F 中，则可将表中第 2 行位于 (R1-R2) 列 中的所有符号都改为 a ，这样该表中第 2 行就全是 a 了，则 ρ具有无 损连接性。同理可证 R1∩R2→(R2-R1) 的情况。 如果 R1∩R2→(R1-R2) 不在 F 中，但在 F+ 中，即它可以用公理从 F 中推出来，从而也能推出 R1∩R2→Ax, 其中 Ax⊆R1-R2 ，所以可 以将 Ax列的第 2 行改为全 a ，同样可以将 R1-R2 中的其他属性的第 2 行也改为 a ，这样第 2 行就变成全 a 行。所以分解 ρ={R1 ， R2} 具有 无损连接性。 同样可以证明 R1∩R2→(R2-R1) 的情况。 （ 2 ）必要性：设构造的表中有一行全为 a ，例如第 1 行全为 a ，则 由函数依赖定义可知 R1∩R2→(R2-R1)；如果是第 2 行全为 a ，则 R1∩R2→(R1-R2) 。定理证毕。

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4.4 关系模式的分解例 : 下列分解是否具有无损连接性和函数依赖保持性。 已知： R(A,B,C) F={A→B ， C→B} (1 ） ρ1={AB ， BC}（ 2 ） ρ2={AC ， BC}

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4.4 关系模式的分解

Ri A B C

AB a1 a2 b13

BC b21

a2 a3

（ 1 ）对 ρ1 和 F 构造表：

（ 2 ）检查 F={A→B ， C→B} 对 A→B ， A 列中无相同的行； 对 C→B, C 列中无相同的行。 ρ1 不具有无损连接性。

ρ1={AB ， BC}

F={A→B ， C→B}

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4.4 关系模式的分解 ρ1={AB ， BC} F={A→B ， C→B}

利用定理 4.12 解。 R1∩R2 = B (R1-R2) = A R1∩R2 +> (R1-R2) ρ1 不是无损连接分解。

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4.4 关系模式的分解

Ri A B C

AC a1 b12 a3

BC b21 a2 a3

ρ2={AC ， BC}

F={A→B ， C→B}

对 ρ2 和 F 构造表：

检查 F={A→B ， C→B} 对 C→B, C 列有相同的行，改写 B 列的相异符号为 a ，下标为列号 2 。第一行变为 a1a2a3,ρ2具有无损连接性。

Ri A B C

AC a1 a2 a3

BC b21 a2 a3

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4.4 关系模式的分解 ρ2={AC ， BC} F={A→B ， C→B}

利用定理 4.12 解。 R1∩R2 = C (R1-R2) = A； (R2-R1) = B； R1∩R2 +> (R2-R1) ρ2 是无损连接分解。

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4.4 关系模式的分解3. 模式分解的方法 3NF 的保持无损连接及函数依赖的分解： 设： R<U ， Fm> 1) 对 Fm 中任一 X->A ，若 XA=U 则不分解，结束。 2) 若 R 中 Z 属性在 Fm 中未出现，则所有 Z 为一个子

模式， 令 U=U-Z 。 3) 对 Fm 中 X->A1 ，… . X->An ，用合成规则合成一

个， 再对 Fm 中每个 X->A ，令 Ri=XA 。 4) R 的分解为 {R1 ， R2 ，… .RK，键 }

依赖保持不需要；原包含有不需要。

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4.4 关系模式的分解 BCNF 的保持无损连接的分解：（ 1 ）令ρ={R} ；（ 2 ）如果ρ中所有关系模式都是 BCNF ，则转（ 4 ）；（ 3 ）如果 ρ中有一个关系模式 Ri<Ui ， Fi> 不是 BCNF ，

则 Ri 中必有 X→A∈Fi+(AX) ，且 X 不是 Ri 的键。设 S1=

XA ， S2=Ui-A ，用分解 {S1 ， S2} 代替 Ri<Ui ， Fi> ，转（ 2 ）；

（ 4 ）分解结束，输出 ρ。例：设 R={A,B,C,D},F={A→C ， C→A ， B→AC ， D→AC ，

BD→A} （ 1 ）将 R 分解为 3NF 且具有无损连接性和依赖保持性。 （ 2 ）将 R 分解为 BCNF 且具有无损连接性。

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关系模式的分解算法关系模式的分解算法 示例： U={S# ， SD ， MN ， C# ， G}

F={S#SD ， S#MN ， SDMN ， (S#,C#)G}

⒈U1={S# ， SD} , F1={S#SD}

U2={S#, MN, C#, G}, F2={S#MN, (S#,C#)G}

⒉U1 = {S#, SD}, F1={S#SD} U2 = {S#, MN}, F2={S#MN}

U3 = {S#, C#, G}, F3 = {(S#,C#)G}

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4.4 关系模式的分解关系模式 CTHRSG ，其中 C 表示课程， T 表示教师， H表示时

间， R 表示教室， S 表示学生， G 表示成绩。函数依赖集 F及

其所反映的语义分别为：

CT 每门课程仅有一位教师担任。

HTR 在任一时间，一个教师只能在一个教室上课。

HRC 在任一时间，每个教室只能上一门课。

HSR 在任一时间，每个学生只能在一个教室听课。

CSG 每个学生学习一门课程只有一个成绩。

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4.4 关系模式的分解 解：解： HSHSCTHRSGCTHRSG ，， HSHS 是关系模式的关键字是关系模式的关键字。。

⑴ ⑴ 面向面向 3NF3NF 且保持函数依赖的分解。且保持函数依赖的分解。

最小函数依赖集为 F={CT,CSG,HRC,HSR,THR}

分解为：＝ {CT ， CSG ， HRC ， HSR ， THR}

⑵ ⑵ 面向面向 3NF3NF既有无损连接性又保持函数依赖的分解。既有无损连接性又保持函数依赖的分解。

∵ HS 是关键字， ＝ ∪ { HS } ， HS 是 HSR 的一个子集

∴分解仍为：＝ {CT ， CSG ， HRC ， HSR ， THR}

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4.4 关系模式的分解 ⑶ 面向 BCNF 且具有无损连接性的分解。

CTHRSGKey=HS

CSGKey=CSCSG

CTHRS Key=HSCT ， THR

HRC ， HSR

CTKey=CCT

CHRS Key=HSCHR ， HRC

HSR

CHRKey=CH ， HR

CHR ， HRC

CHSKey=HS HSC

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规范化的问题规范化的问题1. 规范化的优缺点 关系模式的分解会降低查询的效率。 所讨论的关系规范化是基于泛关系假设的，即只基于一个关系模式的规范化。但现实并不一定满足。2.反规范化的设计 对一些特定的应用不规范化，而是通过使用冗余来改进性能。例： account(帐号，支行名，余额 ) depositor(客户名，帐号 ) 每次访问帐户时，帐户持有者的名字都与帐户密码和余额一起显示。

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规范化的问题规范化的问题 并不是规范化程度越高越好。例： earnings(公司号，年份，数量 ) 若设计成： （ 1 ）使用多个关系 ，每年建一个表。 不好！（是 BCNF ） （ 2 ）使用一个关系： company_year(公司号，收入 _2000，收入 _2001 ，收入 _2002)

不好！ （是 BCNF ）

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第 4章 关系数据库理论小结 :1. 函数依赖关系2. 关系模式的规范化

几种常见范式及其转换3. 阿氏公理及其推理规则4. 用函数依赖或 XF

+求键5. 求最小函数依赖集 Fm6. 模式分解的概念、方法

本章练习：

本章思考题： 1 、关系模式的规范化的意义？ 2、 XF

+ 与 XF+ 的关系？

3、最小函数依赖集 Fm的概念与作用？